Короткі теоретичні відомості

Автоколивання – специфічний режим роботи нелінійних систем, що відповідає стійким незатухаючим коливанням з певною амплітудою й частотою.

Автоколивання можуть виникати тільки у нелінійних системах. Принципова різниця цих коливань від незатухаючих коливань у лінійних системах полягає в тому, що відхилення параметрів автоколивань (амплітуди, частоти і т. д.) малим зміщенням у процесі подальшого руху зменшується.

У попередній лабораторній роботі було наведено, що незатухаючим коливанням відповідає замкнута фазова траєкторія (замкнутий цикл). Цей цикл, який називають граничним, є ізольованим: він обмежений траєкторіями, що навиваються на нього (рис. 3.1, а) або скручуються з нього (рис. 3.1, б).

Якщо у результаті малого зміщення з граничного циклу в будь-якому напрямку ми потрапляємо на траєкторію, що необмежено наближається до циклу, то цикл стійкий (рис. 3.1, а).

Стійкий граничний цикл на фазовій площині розмежовує два процеси:

• коливальний процес, що розходиться (крива 1, рис. 3.2), який виникає при малих початкових відхиленнях;

• затухаючий коливальний процес (крива 2, рис. 3.2), що виникає при значних відхиленнях.

Рисунок 3.1 – Граничний цикл з траєкторіями, що накручуються (а) на нього і скручуються з нього (б)

Із рисунка випливає, що рівноважний стан системи нестійкий. Але процес розходиться до певної амплітуди , тобто практично коливальний процес буде стійким, бо при одних початкових значеннях він розходиться, а при інших – затухає.

У системі, фазовий портрет якої наведено на рис. 3.1, а), автоколивання виникають ніби “самі собою” від як завгодно малого збурення. Збудження коливань такого роду називають м’яким.

1 – коливальний процес, що розходиться; 2 – затухаючий коливальний процес; 3 – періодичний коливальний процес з постійною амплітудою а₀ і постійною частотою ₀

Рисунок 3.2 – Автоколивання у нелінійних системах

Уявимо фазовий портрет із двома циклами: внутрішнім нестійким і зовнішнім стійким (рис. 3.3).

Початок координат – стійкий фокус. Усередині внутрішнього циклу рух з часом зупиняється, автоколивання не виникають. Для їх збудження, необхідний досить сильний поштовх, який виведе початкову точку за граничний нестійкий цикл. Це система із жорстким збудженням автоколивань.

Нестійкий граничний цикл обмежує у фазовій площині зону допустимих початкових збуджень, за яких стан рівноваги ще залишається стійким.

Слід зазначити, що автоколивання не є змушеними коливаннями. Вони є власними вільними коливаннями системи і мають цілком визначену амплітуду і частоту, які не залежать від початкових умов процесу, а залежать тільки від параметрів самої системи, тобто об’єкта і регулятора.

Система, у якій виникають автоколивання, може вважатись практично стійкою і придатною для потреб регулювання, якщо амплітуда коливань a₀ незначна і частота їх безпечна, тобто накладення цих коливань на постійне значення вихідної величини практично допустиме за технічними вимогами.

Автоколивання можуть виникати не лише у САК. До автоколивальних систем можна віднести ламповий генератор, годинник, поршневий двигун. Автоколивальний характер мають і такі процеси у живих організмах, як дихання та робота серця.

Отже, можна дати таке визначення автоколивальної системи: система, що здатна створювати незатухаючі коливання, якщо вона характеризується наявністю: джерела живлення; клапана, що регулює надходження енергії до коливальної системи; зворотного зв’язку з коливальної системи на клапан.

Одним із методів дослідження автоколивань є метод гармонічного балансу. Він дозволяє визначити умови появи та параметри автоколивань як у системах другого порядку, так і у більш складних системах може використовуватися у випадку, коли характеристика нелінійного елемента є неоднозначною. При цьому метод має достатню для практичних потреб точність і, що найбільш важливо, найкоротшим шляхом призводить до безпосереднього вираження потрібних залежностей амплітуди і частоти автоколивань від параметрів системи. Це полегшує задачу як загального аналізу властивостей даної САК, так і вибір її структури та параметрів під час проектування чи настроювання системи.

Метод ґрунтується на гіпотезі фільтра, відповідно до якої вважається, що автоколивання наближено можна знайти у синусоїдальній формі:

, (3.1)

тобто лінійна частина системи є достатньо інерційною і не пропускає високочастотні гармоніки коливань (являє собою фільтр низьких частот).

При цьому слід пам’ятати, що на виході нелінійного елемента буде з’являтись періодичний сигнал, форма якого залежить від характеру нелінійності й в загальному випадку суттєво відрізняється від синусоїдальної (так, наприклад, на виході ідеального реле утворюється періодичний сигнал прямокутної форми).

Розглянемо простий контур регулювання (рис. 3.4). Система не зазнає зовнішніх впливів, тобто .

Перші гармоніки величин x та y на вході й на виході нелінійного елемента дорівнюють:

Рисунок 3.4 – Структурна схема нелінійної САК

Зазначимо, що , тоді отримаємо такий вираз для y:

. (3.2)

В операційній формі запису:

. (3.3)

Коефіцієнти g і b називають гармонічними коефіцієнтами передачі нелінійного елемента або коефіцієнтами гармонічної лінеаризації. Ці коефіцієнти є функціями амплітуди: ; . Вони залежать від виду нелінійності. Для однозначних характеристик , для петльових характеристик гістерезисного типу завжди є від’ємною величиною.

У таблиці 3.1 наведені коефіцієнти g і b для основних нелінійностей.

Таблиця 3.1 – Коефіцієнти гармонічної лінеаризації типових нелінійностей

№ пор
1			0
2			0
3
4			0
5			0

Із виразу (3.3) можна знайти відношення між y та x і назвати його еквівалентною передавальною функцією нелінійного елемента:

.

Для отримання частотної передавальної функції приймаємо , і тоді:

, (3.4)

тобто еквівалентна частотна передавальна функція нелінійного елемента є функцією амплітуди і не залежить від частоти: .

Модуль еквівалентної передавальної функції показує відношення амплітуди першої гармоніки на виході до амплітуди вхідного сигналу, а аргумент – фазовий зсув між першою гармонікою виходу та вхідним синусоїдальним сигналом. Для однозначних характеристик , тобто вони не завдають запізнень за фазою.

Для розімкнутої системи можна записати:

. (3.5)

Якщо у замкнутій системі існують автоколивання, то . Тоді

, (3.6)

. (3.7)

Останнє рівняння є рівнянням гармонічного балансу, яке характеризує умови виникнення автоколивань. Розв’язувати його можна різними методами, але найбільш розповсюдженим є графоаналітичний метод Гольдфарба (метод був запропонований 1944 року одночасно Гольдфарбом (СРСР) і Кохенбургером (США).

Рисунок 3.5 – Визначення амплітуди і частоти автоколивань графічним способом

За цим методом на комплексній площині будують АФЧХ лінійної частини системи та обернену гармонічну характеристику нелінійного елемента (рис.3.5).

Якщо ці годографи перетинаються, то у досліджуваній системі можливі автоколивання. Параметри автоколивань при цьому легко визначити, оскільки має частотні позначки, а характеристика – амплітудні. Якщо характеристики не перетинаються, то автоколивання відсутні.

При цьому слід пам’ятати правило: якщо, рухаючись по кривій у бік збільшення амплітуди, ми виходимо з контуру, охопленого , то точці перетину відповідають стійкі коливання (точка Д), а якщо входимо (точка С) – нестійкі (рис. 3.5). Точка Д визначає параметри автоколивань.

Слід пам’ятати, що даний метод є наближеним, оскільки вважається, що лінійна частина системи є фільтром низьких частот.