Порядок виконання роботи

Дослідженню підлягає імпульсна САК (рис. 4.2), що складається з нелінійного імпульсного елемента (НІЕ) та приведеної безперервної частини (ПБЧ).

1. Відповідно до варіанта (табл. 4.2) скласти лінійну безперервну модель.

2. Побудувати перехідну та частотні характеристики системи.

3. Виконати z-перетворення та отримати імпульсну передавальну функцію, вважаючи, що як формувач імпульсів використовує екстраполятор нульового порядку (частота дискретизації 1000 Гц).

4. Побудувати перехідну та частотні характеристики імпульсної системи за допомогою системи Matlab.

5. Побудувати частотні характеристики імпульсної системи, використовуючи білінійне перетворення.

Таблиця 4.2 – Варіанти завдань

№	Передавальна функція
1
2
3
4
5

Зміст звіту

1. Перехідна та частотні характеристики системи.

2. Імпульсна передавальна функція.

3. Частотні характеристики імпульсної системи з використанням білінійного перетворення.

Контрольні питання

1. Поясніть поняття безперервних і дискретних операторів.

2. Наведіть алгоритмічну та структурну схеми імпульсної системи керування.

3. Як визначити дискретну передавальну функцію розімкнутої системи?

4. Що таке білінійне w-перетворення, z- перетворення?

5. Що таке відносна (абсолютна) псевдочастота? Як визначити відносну (абсолютну) псевдочастоту?

Література: [2, с. 306–330].

Лабораторна робота №5

Тема. Синтез регуляторів

Мета: набуття навичок аналітичного та експериментального розрахунку коефіцієнтів аналогових та цифрових регуляторів.

Короткі теоретичні відомості

Об'єкти в замкнутій системі мають нові динамічні й статичні властивості та характеристики. Властивості замкнутих систем залежать не тільки від характеристик об'єкта і діючих збурень, а й від особливостей і характеристик регуляторів.

У ТАК однією з основних особливостей регулятора є можливість впливу на статичні та динамічні помилки САР, що залежить від характеристик регулятора, які визначаються його законом керування.

Під законом регулювання розуміють залежність вихідної величини регулятора від його вхідної величини при нехтуванні інерцією самого регулятора.

Залежно від вигляду функції у(х) існують три основних принципових закони: пропорційний, який реалізується за допомогою пропорційного регулятора (П-регулятора); інтегральний (І-регулятора), диференціальний (Д-регулятора). На практиці здебільшого використовують комбіновані закони регулювання, які об'єднують позитивні властивості вказаних вище принципів керування і відповідних регуляторів.

Пропорційний закон регулювання. Це найпростіший закон керування. Він описується залежністю:

(5.1)

До переваг П-регуляторів належать: простота і надійність, безінерційність, можливість зменшення статичної помилки і тривалості перехідного процесу. Основні недоліки регулятора: принципова неможливість впливу на динамічні похибки і неможливість повної ліквідації статичної помилки.

Інтегральний закон регулювання. Інтегральний регулятор виконує регулювання за інтегральним законом:

(5.2)

Введення інтегруючої ланки з метою ліквідації статичної помилки і перетворення статичної системи в астатичну називають введенням астатизму в систему.

Проте інтегральні регулятори мають також суттєві недоліки. При інтегральному законі регулювання дія регулятора проявляється лише через деякий час. Тому помилка, яка виникла, усувається не одночасно з її появою. Це може привести до небажаних коливань у системі, погіршення характеру перехідного процесу і навіть втрати стійкості системи. Крім того, усунення кількох динамічних складових помилки потребує введення відповідної кількості інтегруючих ізодромних ланок, що підвищує складність системи.

Диференціальний закон регулювання. За допомогою Д-регулятора забезпечується подання на вхід об'єкта величини, пропорційної швидкості зміни вихідної величини:

(5.3)

Перевагою регулювання за похідними є швидкодія і можливість зменшення швидкісних помилок.

Недоліками диференціальних законів керування і відповідних Д-регуляторів є:

• не можна усунути вплив сталих складових помилки;

• у системах не забезпечується повна компенсація швидкісних помилок (тому що ідеальне диференціювання принципово неможливе).

Беручи до уваги, що основні відносно прості закони регулювання в більшості випадків не можуть забезпечити потрібну статичну і динамічну точність, на практиці набули поширення складніші закони керування і відповідні регулятори.

Пропорційно-інтегральний закон регулювання (ПІ-регулятори). Цей закон записується у вигляді:

(5.4)

Інтегральна складова в системах з ПІ-регулятором забезпечує введення астатизму, а пропорційна – визначає швидкодію системи.

Недолік регуляторів даного типу – неможливість оперативно ком­пенсувати швидкісні помилки.

Пропорційно-диференціальний закон регулювання (ПД-регулятори). Рівняння даного закону має вигляд:

(5.5)

Регулятор оперативно реагує не тільки на саму помилку, але й на швидкість її зміни.

Особливість ПД-регулятора полягає в можливості мати значний сигнал на виході при незначній помилці, оскільки при досить малих величинах помилки швидкість її зміни може бути значною. Недоліком ПД-регуляторів є неможливість повного усунення статичної помилки.

Пропорційно-інтегрально-диференціальний закон регулювання (ПІД-регулятори). Математичний вираз цього закону має три складові:

(5.6)

ПІД-регулятори найскладніші, проте вони поєднують у собі переваги всіх трьох розглянутих вище простих законів керування, забезпечуючи астатизм системи, оперативне реагування на появу відхилень на їх похідні.

Регулятор, увімкнений у САР, може мати декілька настройок, кожна з яких може змінюватися в досить широких межах. При цьому при певних значеннях настройок система керуватиме об'єктом відповідно до технологічних вимог, при інших може привести до нестійкого стану.

Тому постає завдання визначити настройки, що відповідають стійкій системі, але і вибрати з них оптимальні.

Оптимальними настройками регулятора називаються настройки, які відповідають мінімуму (або максимуму) якого-небудь показника якості. Вимоги до показників якості встановлюють безпосередньо, виходячи з технологічних вимог. Найчастіше накладаються вимоги на час регулювання і ступінь загасання.

Проте, змінюючи настройки так, щоб збільшити ступінь загасання, ми можемо прийти до дуже великого часу регулювання, що недоцільно. І навпаки, прагнучи зменшити час регулювання, ми отримуємо більш коливальні процеси.

Для визначення оптимальних настройок розроблений ряд математичних методів.

Розрахунок коефіцієнтів ПІД-регулятора при відомій бажаній передавальній функції.У разі, коли відомі передавальна функція об'єкта керування і бажана передавальна функція, щоб розрахувати коефіцієнти ПІД-регулятора, слід розв’язати зворотну задачу динаміки.

Уважатимемо, що структура регулятора, тобто його передавальна функція W_р(s), нам невідома. За об'єкт керування взятий двигун постійного струму, передавальна функція якого:

(5.7)

Запишемо передавальну функцію замкнутої системи W_z(s):

(5.8)

Рисунок 5.1 – Початкова схема для розрахунку регулятора

для двигуна постійного струму

Розрахуємо регулятор, який забезпечить аперіодичний перехідний процес із заданим коефіцієнтом підсилення і сталою часу.

Хай бажана стала часу перехідного процесу T_b буде приблизно рівна T_м. Тобто передавальна функція бажаної системи W_b(s) рівна:

(5.9)

Прирівняємо передавальну функцію замкнутої системи до передавальної функції бажаної системи:

	(5.10)
	(5.11)

_{Вираз для передавальної функції регулятора Wp(s):}

(5.12)

Підставивши значення W_dv(s):

(5.13)

Після заміни коефіцієнтів:

	(5.14)
	(5.15)
	(5.16)

Передавальна функція регулятора має вигляд:

(5.17)

У результаті отримані: коефіцієнт C₁, коефіцієнт перед інтегральною ланкою С₂ і коефіцієнт перед диференціювальною ланкою C₃. Тобто отримана класична структура ПІД-регулятора з параметрами K_п = С₁, К_і = C₂ і K_д = C₃.

Експериментальні методи настройки регулятора

Метод незгасаючих коливань. Для випадку, коли невідома передавальна функція системи, або аналітичний розрахунок регулятора являє собою складну задачу, синтез параметрів регулятора проводиться експериментальним шляхом за таким алгоритмом.

У працюючій системі вимикаються інтегральна і диференціальна складові регулятора ( ), тобто система переводиться в П-закон регулювання.

Шляхом послідовного збільшення з одночасною подачею невеликого стрибкоподібного сигналу задання добиваються виникнення в системі незгасаючих коливань з періодом . Це відповідає виведенню системи на межу коливальної стійкості. При виникненні даного режиму роботи фіксуються значення критичного коефіцієнта підсилення регулятора і періоду критичних коливань у системі . При появі критичних коливань жодна змінна системи не повинна виходити на рівень обмеження.

За значеннями і розраховуються параметри настройки регулятора:

П-регулятор: ;

ПІ-регулятор: ; ;

ПІД-регулятор: ; ; .

Розрахунок настройок регулятора можна проводити за критичною частотою власне об'єкта керування . Ураховуючи, що власна частота ОУ збігається з критичною частотою коливань замкнутої системи з П-регулятором, величини і можуть бути визначені за амплітудою і періодом критичних коливань власне об'єкта керування.

При виведенні замкнутої системи на межу коливальної стійкості амплітуда коливань може перевищити допустиме значення, що, у свою чергу, призведе до виникнення аварійної ситуації на об'єкті або до випуску бракованої продукції. Тому не всі системи керування промисловими об'єктами можуть виводиться на критичний режим роботи.

Рисунок 5.2 – Графіки вхідного сигналу (а), відгуку системи

та схема визначення динамічних характеристик (б)

У випадку, коли відома перехідна функція системи, синтез регулятора можна провести за розрахунковими формулами (табл. 5.1) з використанням характеристик перехідного процесу.

Для визначення динамічних характеристик перехідного процесу необхідно побудувати дотичну через точку перегину А.

Динамічний коефіцієнт підсилення – величина, що показує, у скільки разів дану ланку підсилює вхідний сигнал (у сталому режимі), і рівна відношенню величини технологічного параметра h_ust в сталому режимі до вхідної величини X:

(5.18)

Стале значення вихідної величини h_ust – це значення h при t → ∞.

У системах автоматичного регулювання після отримання збурюючої дії регульований параметр змінюється не миттєво, а через деякий час. Цей час називається запізнюванням процесу в об'єкті. Розрізняють ємнісне і транспортне запізнювання. Ємнісне запізнювання залежить від ємності об'єкта регулювання. Транспортним (динамічним) запізнюванням називається проміжок часу від моменту зміни вхідної величини x до початку зміни вихідної величини h. Чим більше час повного запізнювання, тим важче регулювати такий процес.

_{Таблиця 5.1 – Формули для розрахунку регуляторів за відомими параметрами перехідного процесу}

Регулятор	Типовий процес регулювання
	Аперіодичний	з 20%-м перерегулюванням	Jmin
І
П
ПІ
ПІД

Стала часу об'єкта Т може бути визначена відповідно до рис. 5.2.

Метод використовується для швидкої, наближеної оцінки значень параметрів настройки регулятора для оптимальних типових процесів регулювання.

Передавальна функція регулятора має вигляд:

(5.19)

Синтез цифрового регулятора за аналоговим прототипом. Розглянемо процедуру синтезу алгоритму цифрового ПІД-регулятора з відповідного безперервного закону, що має вигляд

(5.20)

де – помилка регулювання.

Запишемо рівняння (5.20) у скінченних різницях шляхом заміни

(5.21)

де =1, 2, 3...– номер періоду квантування, – величина періоду квантування. Зазначимо, що при достатньо малих періодах квантування цифровий ПІД-закон керування забезпечує майже таку саму якість процесів керування, що і початковий безперервний закон (5.20). На практиці замість обчислень абсолютних значень керуючого сигналу зручніше обчислювати його прирощення на кожному такті. У цьому випадку стає можливим використовувати даний алгоритм для керування об'єктами з пропорційними та інтегруючими виконавчими механізмами. У результаті можна отримати так званий швидкісний алгоритм керування, повністю еквівалентний початковому

(5.22)

Привівши подібні члени, отримаємо

(5.23)

, , (5.24)

Структурна схема цифрового ПІД-регулятора наведена на рис. 5.3.

Рисунок 5.3 – Структурна схема швидкісного ПІД-регулятора

Вибір періоду квантування. Для того щоб ефект квантування за часом мало позначався на динаміці системи цифрового регулювання, рекомендується вибирати період квантування із співвідношення:

(5.25)

де – це час досягнення вихідним сигналом рівня 95 % від усталеного значення при подачі на вхід об'єкта ступінчастого сигналу.

Інший підхід до вибору величини періоду квантування базується на рекомендаціях американських учених Зіглера і Нікольса, згідно з якими:

(5.26)

де – період критичних коливань об'єкту керування.

Не можна вибирати великі періоди квантування, особливо для відповідальних процесів, оскільки в цьому випадку аварійні ситуації ліквідовуватимуться дуже повільно. Водночас при дуже малому періоді квантування підвищуються вимоги до швидкодії ЕОМ і збільшується вплив шумів.