Аналитическая модель проявления сезонных колебаний

Для анализа внутригодовой динамики социально-экономических явлений могут применяться гармоники ряда Фурье. Уравнение имеет вид: (ряд Фурье):

(8.20)

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4).

Параметры уравнения определяются по методу наименьших квадратов. Получим следующие формулы для определения параметров:

;

При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение k принимается за 12. Представляя месячные периоды как части окружности, ряд внутригодовой динамики можно записать в виде:

Периоды(ti)

0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6



7/6

4/3

3/2

5/3

11/6

Уровни (уi)

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

у8

у9

у10

у11

у12

Проиллюстрируем построение модели внутригодовой динамики по первой гармонике ряда Фурье на данных о розничном товарообороте по месяцам 1997 г. (табл. 10.7).

Применяя первую гармонику ряда Фурье, определяются параметры уравнения :

=366,4/12=30,5;

=2*(-2,4)/12=-0,4

=2*(-7,8)/12=-1,3

Таблица 10.7

Месяц	ti	Объем розничного товарооборота, млрд. руб. yi	cos ti	sin tt	yi cos ti	yi sin tt	Yтеор
1	2	3	4	5	6	7	8
Январь	0	27,3	1,0	0,0	27,3	0,0	30,1
Февраль	1/6	28,0	0,866	0,5	24,2	14,0	29,6
Март	1/3	31,2	0,5	0,866	15,6	27,0	29,2
Апрель	1/2	30,1	0,0	1,0	0,0	30,1	29,2
Май	2/3	29,2	-0,5	0,866	-14,6	25,3	29,6
Июнь	5/6	30,0	-0,866	0,5	-26,0	15,0	30,2
Июль		30,1	-1,0	0,0	-30,1	0,0	30,9
Август	7/6	32,0	-0,866	-0,5	-27,7	-16,0	31,5
Сентябрь	4/3	31,4	-0,5	-0,866	-15,7	-27,2	31,8
Октябрь	3/2	32,3	0,0	-1,0	0,0	-32,3	31,8
Ноябрь	5/3	31,2	0,5	-0,866	15,6	-27,0	31,5
Декабрь	11/6	33,5	0,866	-0,5	29,0	-16,7	30,9
Итого	-	366,4	-	-	-2,4	-7,8	366,3

По полученным параметрам синтезируется математическая модель:

у_теор=30,5-0,4*cos t-1,3*sin t

На основе модели определяются для каждого месяца теоретические уровни (см. табл. 10.7 столб.8).

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ В РЯДАХ ДИНАМИКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Определяемые в анализе рядов динамики теоретические показатели имеют широкое применение при прогнозировании. Составление надежных прогнозов динамики спроса и предложения товаров является необходимым условием регулирования рыночных отношений.

Под экстраполяцией понимается распространение выявленных в анализе рядов динамики закономерностей развития изучаемого явления на будущее.

Основой прогнозирования является предположение, что закономерность, действующая внутри анализируемого ряда динамики, сохраняется и в дальнейшем.

Важное значение при экстраполяции имеет продолжительность базисного ряда динамики и сроков прогнозирования.

Установление сроков прогнозирования l зависит от задачи исследования. Но следует иметь в виду, что чем короче сроки упреждения прогноза, тем надежнее результаты экстраполяции.

Если в изучаемом явлении наблюдается постоянный абсолютный прирост ( ) , то применяется формула

(9.70)

где у_л+1 - экстраполируемый уровень;

у_п - конечный уровень базисного ряда динамики; / - срок прогноза (период упреждения);

-средний абсолютный прирост.

При экстраполяции уровня развития изучаемого явления на базе ряда динамики со стабильными темпами роста (Тр_ц  соnst) применяется формула:

(9.71)

При прогнозировании тренда изучаемого явления на основе аналитического выравнивания применяется адекватная трендовая модель. Так, при выравнивании розничного товарооборота региона в 1993- 1997 гг. (табл. 10.1) была определена на основе показательной функции трендовая модель:

у, = 17,67-1,04'.

Для прогнозирования возможного уровня развития товарооборота региона в 1998 г. в модель подставляется t = 3.

y₁₉₉₉ = 17,67-1,04³ = 19,8 млрд. руб.

На практике результат экстраполяции прогнозируемых уровней социально-экономических явлений обычно выполняется не дискретными, а интервальными оценками. Для определения границ интервалов используется формула

(9.72)

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента;

- остаточное среднее квадратическое отклонение тренда, скорректированное по числу степеней свободы (п - т); п - число уровней базисного ряда динамики; т - число параметров адекватной модели тренда.

Применение формулы (9.72) проиллюстрируем на данных экстраполяции объема розничного товарооборота региона в 1998 г.

Число степеней свободы при n = 5 и m = 3 составляет 2. При уровне значимости  = 0,05 коэффициент доверия по таблице Стьюдента равен 4,3. При =0,0176 (см. гр. 11 табл. 10.2) значение остаточного среднего квадратического отклонения :

Значение вероятностных границ интервала составляет: 19,8 ± 4,3 • 0,094. Следовательно, с вероятностью 0,95 верхняя граница объема розничного товарооборота региона составит: 19,8*0,4 = 19,4 млрд. руб., а нижняя граница - 19,8 + 0,4 = 20,8 млрд. руб.

Важно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит приближенный и условный характер. Это обусловлено распространением на ряды динамики положений корреляционно-регрессионного анализа выборочных совокупностей.