2. Статистическая совокупность

Статистическая совокупность — понятие, лежащее в основе всех статистических методов. Объекты, с которыми имеют дело в медицине, обладают большой вариабельностью — их характеристики меняются во времени и пространстве в зависимости от многих факторов, а также существенно отличаются друг от друга, Характеристики таких объектов обычно представляют в виде матрицы наблюдений, где столбцы соответствуют различным признакам, а строки — либо разным объектам, либо последовательным во времени наблюдениям за одним и тем же объектом.

Из-за вариабельности измеряемых признаков приходится считать их значения случайными величинами и пользоваться вероятностными (стохастическими) постановками задач: матрица наблюдений является выборкой, или выборочной совокупностью случайных величин из некоторой генеральной совокупности. Сама генеральная совокупность обычно трактуется как множество всех объектов определенного типа или как совокупность всех возможных реализаций какого-либо явления. Основными задачами статистического исследования являются выявление и анализ закономерностей, присущих объектам в выборке, с целью установления возможности и достоверности перенесения сделанных выводов на генеральную совокупность.

Признаки, характеризующие объекты в медицине и здравоохранении, подразделяются на количественные, порядковые и качественные. Для количественных признаков можно указать точную характеристику — число (например, вес, рост, величина АД, данные анализов), Для порядковых признаков (ранговых, если каждой градации ставится в соответствие число — ранг) точная характеристика невозможна, но можно указать степень выраженности соответствующего свойства (хрипы в легких — единичные, множественные; интенсивность кашля — слабая, средняя, сильная, очень сильная). Качественные признаки не поддаются упорядочиванию или ранжированию (цвет глаз — голубой, серый, карий).

Обычно объекты в биологии и медицине описываются множеством признаков одновременно. Набор учитываемых при исследовании признаков называется пространством признаков. Значения всех этих признаков для данного объекта однозначно определяют его положение как точку в пространстве признаков. Если признаки рассматриваются как случайные величины, то точка, описывающая состояние объекта, занимает в пространстве признаков случайное положение.

3. Закон распределения случайной величины

Закон распределения случайной величины  — это функция, определяющая вероятность того, что какой-либо признак примет заданное значение (если он дискретен) или попадает в заданный интервал значений (если он непрерывен). При большом числе выборочных данных, значения которых варьируют незначительно, закон распределения может быть аппроксимирован гистограммой. Для построения гистограммы интервал значений признака разбивается на равные участки, для которых подсчитывается частота попадания случайной величины. При бесконечном увеличении числа наблюдений и участков частота стремится к вероятности, а вид гистограммы приближается к кривой, выражающей функцию плотности (или плотности вероятности) случайной величины.

Законы распределения могут быть одномерными и многомерными. В последнем случае закон описывает вероятность появления сочетанных значений признаков или попадания их в некоторую область пространства признаков. В прикладной статистике особую роль играют несколько наиболее часто используемых законов распределения. Наиболее разработана гипотеза о нормальном распределении (закон Гаусса), функция плотности вероятности f (x) для которого имеет вид:

где М — математическое ожидание,

σ — среднеквадратическое (стандартное) отклонение,

е — основание натуральных логарифмов (e = 2.718...).

Параметры закона Гаусса М и σ приближенно оцениваются по любой выборке из генеральной совокупности:

где N — объем выборки, х — значение исследуемого количественного признака для 1-го измерения.

Величина о, возведенная в квадрат, называется дисперсией: D = σ² Дисперсия характеризует разброс (вариабельность) случайной величины около среднего значения. При нормальном распределении случайной величины ее наблюдаемые значения с большой вероятностью (равной 0,9972) отклоняются от М в ту или другую сторону не более чем на 3σ (правило трех сигм).

Оценка математического ожидания М по выборке (называемая выборочным средним) тоже является случайной величиной. Она описывается так называемым распределением Стьюдента. Это распределение зависит от числа наблюдений (числа степеней свободы) и приводится в справочниках по прикладной статистике. Критерий Стьюдента (t-критерий) используется для оценки и сравнения средних значений нормально распределенных случайных величин. Имеется обобщение закона и критерия Стьюдента на многомерный случай.

Выборочная дисперсия также является случайной величиной, распределение которой получило название распределения χ² (хи-квадрат) Пирсона (по имени одного из основоположников биометрии). Таблицы значений χ² включены во все пособия по статистике. На основании распределения χ² строятся доверительные интервалы случайных величин.

Для сравнения выборочных дисперсий двух серий наблюдений используют распределение Фишера, которое зависит от числа степеней свободы обеих выборок и также представлено в табличной форме. Критерий Фишера (F-критерий) применяется для сравнения выборочных дисперсий и формирования оценок в регрессионном, дисперсионном и дискриминантном анализе.

Перечисленные типы распределений относятся к непрерывным случайным величинам. Для дискретных случайных величин используется распределение Пуассона (закон редких явлений):

где М — значение математического ожидания и равное ему значение дисперсии, Pk — вероятность того, что случайная величина принимает значение, равное k (здесь k — любое целое число).

Для таких же величин применяется закон распределения числа взаимоисключающих событий при конечном числе испытаний (биномиальное распределение). Эти распределения употребляются для описания случайных значений параметров в медицинской диагностике, при анализе популяционных процессов и т.п.