6. Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ — статистический метод, применяемый для выявления влияния отдельных факторов (количественных, порядковых или качественных) на изучаемый признак и оценку степени этого влияния. Если изучается действие количественного фактора, то предварительно производится его разбивка на градации. Для каждой градации подсчитывается среднее значение изучаемого признака, затем дисперсия среднего по градациям фактора относительно общего среднего и, наконец, общая дисперсия изучаемого показателя (независимо от значения фактора).

В теории дисперсионного анализа показано, что общая дисперсия D равна дисперсии средних по градациям фактора D_F (доля дисперсии за счет действия исследуемого фактора — объясненная дисперсия) плюс остаточная дисперсия за счет действия случайных факторов (D_S): D = D_F + D_S. Чем больше эта величина, тем сильнее влияние фактора на изучаемый признак.

Для количественной оценки степени влияния вычисляют показатель F по формуле:

где L — число градаций фактора, N — объем статистической совокупности.

Показатель влияния F затем сравнивается со стандартным значением F_st в таблице Фишера (для выбранного уровня значимости при соответствующем числе степеней свободы). Если F > F_st то факт влияния считается достоверно доказанным.

Описанная схема называется однофакторным дисперсионным анализом.

7. Анализ зависимости между признаками

Для оценки степени взаимозависимости двух количественных признаков чаще всего используют коэффициент ковариации или его нормированное значение — коэффициент корреляции:

где x_i и yi — значения первого и второго признаков в 1-м наблюдении, s_x и s_y — стандартные отклонения первого и второго признаков; N — объем выборки, Х и Y — математические ожидания хи у.

При отсутствии связи между признаками величина R равна 0, при возрастании степени связи абсолютная величина R увеличивается. При наличии детерминированной (функциональной) связи величинаR равна + 1 или - 1 (если увеличение одного признака сопровождается соответственно увеличением или уменьшением другого). При промежуточных значениях R каждому фиксированному значению одного признака отвечает некоторое распределение значений другого, с тем меньшей дисперсией, чем больше абсолютная величина R. В простейшем виде коэффициент корреляции отражает линейную связь между признаками, когда изменения обоих признаков пропорциональны во всем диапазоне.

При наличии нелинейной связи, например при квадратичной зависимости одного признака от другого, коэффициент корреляции может быть равен нулю. В таких случаях для выявления связи применяют другой показатель — корреляционное отношение, которое фиксирует наличие любой связи между признаками. Область значений одного признака разбивается на участки, для каждого из них определяется среднее значение другого признака. Далее вычисляется корреляционное отношение:

где D_F — дисперсия второго признака за счет влияния первого, D — общая дисперсия второго признака. Величина корреляционного отношения, как и коэффициента корреляции, лежит между нулем и единицей.

Если исследуется группа тесно связанных между собой признаков, то корреляция между двумя из них может сильно изменяться под влиянием третьего. Так, зависимость АД от минутного выброса сердца существенно меняется при изменениях сосудистого сопротивления. Для анализа подобных случаев применяют показатели частной корреляции, позволяющие нейтрализовать влияние третьих признаков. Частный коэффициент корреляции вычисляется на основе парных коэффициентов корреляции:

где R_{xy (z)} — частный коэффициент корреляции между признаками Хи Y при нейтрализации влияния признака Z, а R_xy, R_xz R_yz — парные коэффициенты корреляции.

В случае необходимости анализа влияния нескольких признаков на один (множественная корреляция) применяется более громоздкая, требующая больших объемов вычислений процедура.

Если исследованию подлежит связь между порядковыми признаками (например, связь между выраженностью реакции Манту и степенью развития туберкулезного процесса), то применяют так называемый ранговый коэффициент корреляции — каждому уровню признака присваивается свой ранг, для каждого наблюдения вычисляется разница рангов.