Складання синусоїдних струмів або синусоїдних напруг

Зображення синусоїдних струмів та напруг комплексними числами

i₃(t)=i₁(t)+i₂(t)

i₁(t)=I_M1sin(ωt+ψ₁)

i₂(t)=I_M2sin(ωt+ψ₂)

i₃(t)=I_M3sin(ωt+ψ₃)

I_1х=I_m1cosψ₁

I_2х=I_m2cosψ₂

I_1у=I_m1sinψ₁

I_2у=I_m2sinψ₂

I_3х=I_1x+I_2x

I_3у=I_1y+I_2y

I_m3=

ψ₃=arctg

Зображення синусоїдних струмів та напруг комплексними числами.

i(t)=I_Msin(ωt+ψ_i)

u(t)=U_Msin(ωt+ψ_u)

j=

φ=ψ_u-ψ_i

I_M=I_M·

U_M=U_M·

- обертовий множник.

Комплексна амплітуда:

Діюче значення синусоїдного струму

За діюче значення синусоїдного струму приймають таке значення постійного струму, який при тих самих зовнішніх умовах за один і той же час виконує на навантаженні таку ж роботу, що і змінний струм.

i(t)=I_msin(ωt+ψ_i)

sin²α=

i=I_msinωt

= R

Діюче значення струму менше відповідного амплітудного у разів.

Комплексні числа. Виконання арифметичних дій з комплексними числами.

j=

j²= – 1

A=a+jb – алгебраїчна форма запису комплексного числа

θ – фаза комплексного числа

А – модуль комплексного числа

A=Ae^jθ=Acosθ+jAsinθ

A=Aθ – полярна форма запису комплексного числа

A= Acosθ+jAsinθ – тригонометрична форма запису комплексного числа

e^jθ=cosθ+jsinθ – формула Ейлера

A=Ae^jθ – показникова форма запису комплексного числа

Основними формулами є алгебраїчна і показникова.

Електричне коло змінного струму з резистивним елементом.

i(t)=I_msin(ωt+ψ_i)

U_R=Ri=RI_msin(ωt+ψ_i)

I=

U_RM=RI_M

U_R=RI

ψ_UR=ψ_I

φ_R= ψ_UR-ψ_I=0

Запишемо напругу, струм та опір резистора у комплексній формі.

– комплекс діючого значення напруги.

– комплекс діючого значення струму.

Z_R – комплексний опір резистора

Z_R=

P(t)>0

Лише генерується енергія

P_R(t)=U_R(t)·i(t)=U_RmI_m·sin²(ωt+ψ_i)= RI_m²·sin²(ωt+ψ_i)= = (1–cos(2ωt+2ψ_i)) – миттєва потужність, що виділяється в резисторі.

Активна потужність має пульсуючий характер з частотою 2.

Середнє значення миттєвої потужності резистора за період називається активною потужністю резистора.

[P]=Вт

2.2. Електричне коло змінного струму з індуктивним елементом. Електричне коло змінного струму з ємнісним елементом. Індуктивність у колі синусоїдного струму

i(t)=I_msin(ωt+ψ_i)

u(t)=L =ωLI_mcos(ωt+ψ_i)

Напруга на індуктивності виникає за рахунок явища самоіндукції.

U_LM=ωL·I_m ωL – виконує роль опору індуктивності.

U_L=ωL·I X_L – опір індуктивності синусоїдного струму

X_L=ω·L який змінюється з частотою ω

ψ_UL=ψ_i+

φ_L=ψ_UL–ψ_i=

Векторна діаграма індуктивності

Напруга виникає на індуктивності

випереджує струм 90 градусів

Z_L=

P_L=0

Четвертину періоду споживає енергію і четвертину генерує – реактивна енергія, реактивна потужність:

Q_L=ωL·I²=X_L·I²

Q_L=U_L·I