Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …

u = f (x,y,z…). (5.5)

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx,dy, dz, …. погрешностями Du, Dx, Dy, Dz, ….

Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx, Dy, Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствуетn выражений:

 (i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

,

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим:  ,  ,  ,  ,  . И окончательно

 (5.6)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x , y, z:

u = x + y + z.

В этом случае  =1,  =1,  =1. Следовательно

= + + .

Арифметическое среднее определяется выражением:

 

,

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего

где  - некоторое постоянное число. Если среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего обозначить через М, а среднюю квадратическую погрешность одного измерения через m, то согласно можно записать:

 

М² =  , откуда М =  ,

 

Т.е. средняя квадратическая погрешность арифметического среднего в  раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения.

Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений. Например, требуется определить величину угла с точностью  при наличии 30-секундного теодолита. Очевидно, что если измерить угол 4 раза и определить арифметическое среднее, то его средняя квадратическая погрешность согласно составит  .

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего М показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.

1.12

Измерение длин линий.

8.1. Измерение длин линий мерными лентами и рулетками

Мерные приборы. Расстояния в геодезии измеряют мерными приборами и дальномерами. Мерными приборами называют ленты, рулетки, проволоки, которыми расстояние измеряют путём укладки мерного прибора в створе измеряемой линии. Дальномеры применяют оптические и светодальномеры.

Мерные ленты типа ЛЗ изготавливают из стальной полосы шириной до 2,5 см и длиной 20, 24 или 50 м. Наиболее распространены 20-метровые ленты. На концах лента имеет вырезы для фиксирования концов втыкаемыми в землю шпильками. На ленте отмечены метровые и дециметровые деления. Для хранения ленту наматывают на специальное кольцо. К ленте прилагается комплект из шести (или одиннадцати) шпилек.

Рулетки – узкие (до 10 мм) стальные ленты длиной 20, 30, 50, 75 или 100 м с миллиметровыми делениями. Для высокоточных измерений служат рулетки, изготовленные из инвара – сплава (64% железа, 35,5% никеля и 0,5% различных примесей), имеющего малый коэффициент линейного расширения. Для измерений пониженной точности применяют тесьмяные и фиберглассовые рулетки.

Компарирование. До применения мерных приборов их компарируют. Компарированием называется сравнение длины мерного прибора с другим прибором, длина которого точно известна.

Для компарирования ленты ЛЗ на ровной поверхности (например, досчатой, каменной) с помощью выверенной образцовой ленты отмеряют отрезок номинальной длины (20 м) и укладывают на том же месте проверяемую рабочую ленту. Совместив нулевой штрих ленты с началом отрезка, закрепляют конец ленты в этом положении. Затем ленту растягивают и линеечкой измеряют величину несовпадения конечного штриха ленты с концом отрезка, то есть отличие Dl длины ленты от номинала. В последующем эту величину используют для вычисления поправок за компарирование. Ими исправляют результаты измерений лентой. Если Dl не превышает 1-2 мм, поправкой за компарирование пренебрегают.

Для компарирования ленты в полевых условиях на ровной местности закрепляют концы базиса. Базис измеряют более точным прибором (светодальномером, рулеткой или лентой, проверенной на стационарном компараторе), а затем компарируемой лентой. Из сравнения результатов измерений получают поправку Dl. Измерения выполняют несколько раз и за окончательный результат принимают среднее.

Рулетки, предназначаемые для высокоточных измерений, компарируют на стационарных компараторах, где по результатам проверки длины ленты при разных температурах выводят уравнение её длины:

Длину измеряют дважды - в прямом и обратном направлениях. Расхождение не должно превышать 1/2000 (при неблагоприятных условиях - 1/1000). За окончательное значение принимают среднее.

1.13

Определение расстояний оптическими дальномерами основано на решении равнобедренного треугольника MFN, в котором искомое расстояние определяется по малому углу, называемому параллактическим (диастимометрическим) углом, и противолежащей ему стороне b, называемой базой.

Из оптических дальномеров наиболее распространенным является нитяной дальномер с постоянным параллактическим углом. Этот дальномер имеется в зрительных трубах геодезических приборов и состоит из двух горизонтальных штрихов, называемых дальномерными нитями, расположенных симметрично относительно центрального штриха сетки нитей.

 

Рис. 5.9.1. Схемы измерения расстояний нитяным дальномером

а – параллактический треугольник; б – схема нитяного дальномера; в – схема определения нитяным дальномером горизонтального проложения линии

 

В комплект дальномера входит рейка с делениями.

Если в начальную точку установить дальномер, а в конечную дальномерную рейку, то искомое расстояние будет равно:

, (5.9.1)

где K – коэффициент дальномера,

n – отсчет, соответствующий числу делений дальномерной рейки, видимых в трубу между дальномерными нитями (рис. 5.9.2.),

c  – постоянное слагаемое дальномера.

 

Рис. 5.9.2. Поле зрения трубы нитяного дальномера в момент измерения

 

В современных теодолитах c близко к нулю. Приведенная формула справедлива, если дальномерная рейка находится перпендикулярно линии визирования. Горизонтальное положение наклонной линии определяют по формуле

, (5.9.2.)

где ν – угол наклона линии.

Лазерный дальномер — прибор для измерения расстояний с применением лазерного луча.

Широко применяется в инженерной геодезии, при топографической съёмке, в военном деле, в навигации, вастрономических исследованиях, в фотографии. Современные лазерные дальномеры в большинстве случаев компактны и позволяют в кратчайшие сроки и с большой точностью определить расстояния до интересующих объектов.

Лазерные дальномеры различаются по принципу действия на импульсные и фазовые.

Импульсный лазерный дальномер это устройство, состоящее из импульсного лазера и детектора излучения. Измеряя время, которое затрачивает луч на путь до отражателя и обратно и зная значение скорости света, можно рассчитать расстояние между лазером и отражающим объектом. Лазерный дальномер — простейший вариант лидара.

Способность электромагнитного излучения распространяться с постоянной скоростью дает возможность определять дальность до объекта. Так, при импульсном методе дальнометрирования используется следующее соотношение:

где   — расстояние до объекта,   — скорость света в вакууме,   — показатель преломления среды, в которой распространяется излучение,   — время прохождения импульса до цели и обратно.

Рассмотрение этого соотношения показывает, что потенциальная точность измерения дальности определяется точностью измерения времени прохождения импульса энергии до объекта и обратно. Ясно, что чем короче фронт импульса, тем лучше.

Фазовый лазерный дальномер - это дальномер, принцип действия которого основан на методе сравнения фаз отправленного и отражённого сигналов. Фазовые дальномеры обладают более высокой точностью измерения по сравнению с импульсными дальномерами. Также фазовые дальномеры дешевле в производстве. Именно фазовые дальномеры получили широкое распространение в быту.

1.14

Нивелирование — определение разности высот двух и более точек земной поверхности относительно условного уровня (напр., уровня океана, реки и пр.), то есть определение превышения. Существуют следующие способы нивелирования:

1. Геометрическое (нивелиром и рейками);

2. Тригонометрическое (угломерными приборами (в осн. теодолитом или тахеометром посредством измерения наклонения визирных линий с одной точки на другую);

3. Барометрическое (при помощи барометра).

4. Гидростатическое (основано на свойстве жидкости сообщающихся сосудов всегда находиться на одном уровне, независимо от высоты точек, на которых установлены эти сосуды)

5. Радиолокационное (производится с помощью радиовысотомеров и эхолотов, установленных как на воздушных, так и на водных судах, автоматически вычерчивающих профиль проходимого пути)

1.15