Уравнение поверхности

В школе изучались уравнения линий на плоскости. В пространстве мы будем пользоваться уравнениями поверхностей и линий. Уточним сейчас, что такое уравнение поверхности.

        Определение 11.1   Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность   . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности   в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности   удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности   , этому уравнению не удовлетворяют.         

Вместо слов "координаты точки удовлетворяют уравнению" иногда будем говорить "точка удовлетворяет уравнению".

Если мы изменим систему координат, то, как правило, изменится и уравнение поверхности.

Если уравнение достаточно сложное, то удовлетворяющие ему точки могут образовывать не только поверхность, но и другие множества, например, линию, одну точку, пару линий. Есть такие уравнения, которым не удовлетворяет ни одна точка пространства. Например, ни одна точка с координатами   не удовлетворяет уравнению   .

В определении сказано, что уравнение должно связывать три переменных, но по записи уравнения не всегда можно определить, сколько переменных оно связывает. Например, уравнение   можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, но можно это же уравнение записать в виде   , и тогда оно будет определять поверхность в пространстве (плоскость, как станет известно дальше). Поэтому кроме самого уравнения должна быть задана информация о том, в пространстве какой размерности находится определяемое этим уравнением множество точек.

Одна и та же поверхность может задаваться разными уравнениями. Например, если в уравнении поверхности   в правой части стоит нуль:   , то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить   . Новое уравнение будет являться уравнением той же самой поверхности   , хотя будет выглядеть по другому. Естественно, что когда говорят об уравнении поверхности, то из всех уравнений этой поверхности стараются выбрать наиболее "простое". 

2.26

После нанесения проектной линии дороги в продольном профиле определяют продольные уклоны каждого ее отрезка.

Уклон проектной линии выражается в промиллях (‰). При определении уклона отрезка проектной линии определяются высотные отметки его началаН1 и конца Н2. Отметки снимаются графически с продольного профиля дороги и заносятся в строку 6 «Отметки бровки земляного полотна».

Находится превышение между отметка (h):

                                     

                                       ,                                             

 

где Н1 и Н2 – соответственно высотные отметки начала и конца отрезка проектной линии, м.

Продольный уклон (i) вычисляют по формуле

где h – превышение между отметками начала и конца запроектированного отрезка дороги, м;

l – протяженность запроектированного отрезка дороги, м.

Значения продольного уклона каждого отрезка проектной линии и величины его горизонтального проложения заносятся в графу «Уклоны трассы и вертикальные кривые», где делается запись   (уклон указывается в промилле, черта сносится параллельно запроектированному участку дороги).

Отметки бровки земляного полотна вычисляются во всех пикетах и плюсовых точках по формуле

,

где  – отметка искомой точки, м;

 – отметка предыдущей точки, м;

l –  расстояние между этими точками, м;

i – уклон запроектированного отрезка дороги.

Значения полученных отметок указываются в строке 6 продольного профиля «Отметки бровки земляного полотна».

Рабочие отметки определяются как разность между проектными и отметками земной поверхности на каждом пикете и плюсовой точке. Они рассчитываются с точностью до 0,01м и выписываются над проектной линией – для насыпей, под ней – для выемок.

 

2.27

Дирекционные углы и осевые румбы

Осевой (средний) истинный меридиан зоны часто принимают за основное направление. В этом случае положение линии местности относительно осевого меридиана определяет угол ориентирования, называемый дирекционным (рис. 16).

Дирекционный угол измеряется от северного направления осевого меридиана в направлении движения часовой стрелки через восток, юг и запад. Следовательно, градусная величина дирекционного угла может иметь любое значение от 0° до 360°.

Рис. 16. Дирекционные углы

Для линии ОА её дирекционным углом в точке О является горизонтальный угол α_ОA  между северным направлением осевого меридиана и направлением линии. Для линий ОВ, ОЕ и ОF – α_ОВ , α_ОE , α_ОF.

Таким образом, дирекционным углом является угол в горизонтальной плоскости, отсчитываемый от северного направления осевого меридиана по ходу часовой стрелки до данной линии.

В геодезии принято различать прямое и обратное направление линии (рис. 17). Так, если ВС считать прямым направлением линии, то СВ будет обратным направлением той же линии. В соответствии с этим α_BC является прямым дирекционным углом линии ВС в точке М, а угол α_CB – обратным дирекционным углом этой же линии в той же точке.

Рис. 17. Прямое и обратное направление линии

Из рисунка видно, что α_CB = α_BC + 180°, т.е. прямой и обратный дирекционные углы отличаются друг от друга на 180°.

Иногда для ориентирования линии местности пользуются не дирекционными углами, а румбами (рис. 18).

Осевым румбом называется острый горизонтальный угол, отсчитываемый от ближайшего направления осевого меридиана (северного или южного) до данной линии. Румбы обозначают буквой r с индексом, указывающим четверть, в которой находится румб.

Рис. 18. Румбы и дирекционные углы

Название четвертей составлены из соответствующих обозначений главных точек горизонта: север (С), юг (Ю), восток (В), запад (З).

Зависимость между дирекционными углами и румбами определяется для четвертей по следующим формулам:

I четверть (СВ) r = α

II четверть (ЮВ) r = 180° – α

III четверть (ЮЗ) r = α – 180°

IV четверть (СЗ) r = 360° – α

Румб в точке М направления ВС называется прямым, а противоположного направления СВ – обратным. Прямой и обратный румб в одной и той же точке данной линии равны по численному значению, но имеют индексы противоположных четвертей.

Рис. 19. Прямой и обратный румбы

2.28

Теория конформного изображения одной поверхности на другой была создана в 20-х – 30х годах прошлого столетия Гауссом. Немецкий геодезист Крюгер во многом способствовал систематизации и опубликованию научного наследия Гаусса. Крюгером также был разработан ряд вопросов теории и практики применения плоских прямоугольных координат в геодезии. Поэтому система плоских прямоугольных координат, основанная на конформной проекции Гаусса, обычно называется системой координат Гаусса-Крюгера. В нашей стране эта система применяется с 1928 года.

На плоскости в проекции Гаусса-Крюгера как наиболее простая принимается прямоугольная система координат, причем в каждой зоне берется своя система. Расстояния Х иY от точки до осей координат называют координатами Гаусса-Крюгера. Наше государство находится в северном полушарии и поэтому абсциссы всех точек будут положительными. А ординаты в каждой зоне могут быть как положительными, так и отрицательными. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, к ним прибавляют 500 км. А впереди пишут номер зоны, в которой находится точка. Поэтому ординаты пишутся условные. Например, Y = 7 536 286,4 м; 7 – номер зоны; 536 286,4 м – это расстояние от условного меридиана, отстоящего от осевого меридиана к западу на 500 км (рисунок 26).

Во всех формулах необходимо использовать ординаты истинные. Чтобы перейти от условных к истинным Y₀, надо исключить номер зоны, а от оставшейся части вычесть 500 000 м. Например, условный Y= 7536286,4 м истинный Y₀ = + 36286,4 м Для математической обработки геодезических сетей на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера необходимо

Рисунок 26 Проекция

Гаусса-Крюгера

 

1. От геодезических координат исходных пунктов сети перейти к плоским прямоугольным координатам проекции этих пунктов. В целях контроля следует решить обратную задачу: по прямоугольным координатам вычислить геодезические.

2. От исходных длин и геодезических азимутов сторон на поверхности земного эллипсоида перейти к длинам и дирекционным углам этих сторон на плоскости.

3. Все измеренные направления, редуцированные на поверхность земного эллипсоида, исправить поправками за кривизну изображения сторон на плоскости.

2.29

Если для составления карты на большую территорию строят географическую сетку меридианов и параллелей, то для составления планов и карт в инженерной геодезии чаще всего используют прямоугольную систему координат. Положение точки определяют относительно осей прямоугольных координат: абсцисс хх и ординат уу. Система прямоугольных координат в геодезии повернута(ось у вниз). При таком расположении осей углы в геодезии для ориентирования линий отсчитывают от вертикальной оси по ходу часовой стрелки. В связи с эти четверти системы координат в геодезии пронумерованы по ходу часовой стрелки.

Для небольших участков местности система прямоугольных координат может иметь начало в любом месте. В государственной системе координат за ось ординат принимают линию экватора, за ось абсцисс – направление осевого меридиана.

П оложение точек на полигоне определяют координаты, а взаимное положение 2 точек может определить приращение координат (Δх; Δу) α

Приращением координат называют длины ортогональных проекций на оси координат.

Приращение можно получить:

Δх=х2-х1

Δу=у2-у1

α	r	Δх	Δу
0-90	св	+	+
90-180	юв	-	+
180-270	юз	-	-
270-360	сз	+	-

 Приращение можно вычислить, если мы знаем направление линии и горизонтальное проложение S.

 Δх=s cos α

Δу=s sin α

 

 

 

 

2.30

Геодезическая задача – математического вида задача, связаная с определением взаимного положения точек земной поверхности и подразделяется на прямую и обратную задачу.

П рямой геодезической задачей (ПГЗ) называют вычисление геодезических координат - широты и долготы некоторой точки, лежащей на земном эллипсоиде, по координатам другой точки и по известным длине и дирекционному углу данного направления, соединяющей эти точки.

2.31

Обратная геодезическая задача (ОГЗ) заключается в определении по геодезическим координатам двух точек на земном эллипсоиде длины и дирекционного угла направления между этими точками.

В зависимости от длины геодезической линии, соединяющей рассматриваемые точки, применяются различные методы и формулы, разработанные в геодезии. По размерам принятого земного эллипсоида (см. Эллипсоид Красовского) составляются таблицы, облегчающие решение геодезических задач и рассчитанные на использование определённой системы формул.

Для определения координат точки в прямой геодезической задаче обычно применяют формулы:

1) нахождения приращений:

2) нахождения координат:

В обратной геодезической задаче находят дирекционный угол и расстояние:

1) вычисляют румб по формуле:

2) находят дирекционный угол в зависимости от четверти угла:

четверти:	Первая четверть	Вторая четверть	Третья четверть	Четвертая четверть
знак приращения	+X, +Y	-X, +Y	-X, -Y	+X, -Y
диреционный угол	a = r	a = 180 - r	a = 180 + r	a = 360 - r