Глава 5. Нестационарные и стохастические модели управления запасами

В тех случаях, когда нельзя пренебрегать нестационарностью или стохастичностью отдельных параметров, применяются более слож­ные методы и модели управления запасами.

Рассмотрим нестационарную модель оптимизации параметров управления запасами материальных ресурсов¹⁰.

Зафиксируем последовательность возможных моментов tn ,(п = 1, N ) получения поставок МР в течение планового периода Т.

Величины: An =tn + 1 — tn n = 1, N; t n+1 = Т назовем длительностя ми п-го этапа (цикла). Спрос за этап «n» равен

tn +1

a (n)= ∫  (t) dt

tn

где a(t) — функция расхода (спроса) МР. Если обозначить объем наличного запаса МР в момент, непос­редственно предшествующий tn через Q(n), то издержки на под­держание запаса Сh за этап n выражаются через эту величину и объем поставок qn (n) в виде

t n+1 t

Сh( n) = Сh(n)Δn х Q(n + 1) + Сh(n) ∫ dt ∫ ((t)-  () d

tn tn

где Q(n+l) = Q(n) + q2(n) + d(n).

Таким образом, суммарные издержки за плановый период Т будут равны

N 

С = {Ch^ (n)+Co(n)x 1[q(n)]},

n=1

1, при q₂ >0

где 1 ( qn)= 0, при q₂ = 0

Затраты С_ за вычетом постоянных слагаемых можно записать в виде

N

С_ ={C_h(n)Q(n+l)+Co(n)xl[q(n)]}, где

п=1

Сh = Ch^ (n) x Dn

Функция С принимается в качестве целевой функции оптимизации управления запасами (поставками) МР для внутрипроизвод­ственной системы, которую следует минимизировать выбором объемов поставок



q₂ (n), n = 1N, с учетом следующих ограничений:

1) Q(l) - задано; Q(n + 1) = Q(n) + q₂(n) - а(п);



2) q₂ (n) i 0; n = 1, N

3) Q(n) i 0; n = 2, .... N+l.

При оптимизации управления запасами МР или ГП в дистрибу­тивной сети часто возникает задача распределения продукции по нескольким уровням складского хранения. В этом случае задача мо­жет сформулирована следующим образом:определить оптимальные по периодам планирования поставки МР (ГП) потребителям, минимизировав суммарные затраты, свя­занные с заказами и поддержанием запасов при ограничении на величину поставок.

Для решения данной задачи можно использовать алгоритм оп­тимизации, основанный на применении аппарата марковских цепей и метода динамического программирования. Предполо­жим, что снабжение МР потребителя осуществляется по двухуров­невой схеме: с распределительного центра (базы) завода-изготовителя МР и склада дилера, что часто встречается на практике. Назо­вем распределительный центр поставщиком №1, склад дилера — поставщиком №2. Состояние потребителя МР зададим вектором ni=(n_1i, n_2i, n_3i), компоненты которого соответственно представля­ет собой: n_1i, — суммарная потребность в МР i-ro наименования; n_2i — поставка МР i-ro наименования от первого поставщика; n_3i — доставка МР от второго поставщика.

Период планирования Т поставок МР i-ro вида разобьем на k интервалов (k = 1, ..., М).

Предположим, что на k-м шаге состояние потребителя МР i-ro вида описывается вероятностью перехода Рnimi, из состояния ni=(n_1i, n_2i, n_3i ) в состояние mi=(m_1i, m_2i, m_3i )а расходы, соответствующие этому переходу, обозначим через Cnimi

Введем обозначения:

fk(x) = P {ζk = х} — распределение случайной величины ζk — потребности в МР i-ro вида;

pk(u/uk) = р { η_k = u/uk} — условное распределение случайной ве­тчины поставки h_k с базы первого поставщика;

q_k (υ /υ_k ) = P{ χ_k = υ /υ_k }-условное распределение случайной ве­личины поставки χ_k со склада второго поставщика.

Стохастический характер поставок η_k χ_k по периодам планирования (k = 1,М) определяется например, неритмичностью производства МР, перебоями в доставке и целым рядом других причин.

Потребность ζk в МР i-ro наименования на k-й период планирования может быть определена по данным прогноза (точечная или Интервальная оценка,). Интервальная оценка потребнобности в МР позволяет, задавшись определенной доверительной веро­ятностью, перевести ζk в нерандомизированную (неслучайную) компоненту, понизив тем самым размерность марковского процесса. Тогда состояние будет характеризоваться двумерным вектором ni=( n_2i, n_3i ).

Состав затрат, формирующих критерий оптимизации при использовании обозначений будет следующим:

С_02i, С_03i — затраты на заказы МР i-ro вида при поставках с баз первого и второго поставщика соответственно;

С_hi — удельные затраты хранения МР i-ro вида на складе в тече­ние одного промежутка времени между двумя последовательными поставками;

C_Дсфi ^— Удельный ущерб потребителя вследствие дефицита МР i-го вида за это же время.

Для решения задачи оптимального управления поставками МР i -го вида введем следующие допущения и ограничения:

— случайные величины η_k и χ_k независимы;

— суммарный объем поставок за период (0, Т) ограничен и равен Wо (при u_k ≥ 0, u_k ≥ O);

— приращение поставок МР i-го вида с базы второго постав­щика по интервалам планируемого периода равно υ_k = l_kV_o , l_k= 0, 1, 2, ...

Используя введенные обозначения, определим вероятность Рnimi перехода процесса из состояния n_i в состояние m_i и суммарные расходы Cnimi сопутствующие этому переходу (при условии, что Сn =Сn^C+Cn^v

Pnimi. = pk(m_2i - n_2i / u_k)q_k(m_3i - n_3i / u_k );

М

Сnimi =C_ni ^c + С_о2i.(m_2i, - n_2i) + С_o3i (m_зi – n_3i) +C_{Деф i} (  _ij -m_2i –

J=k

М

m_3i) _mi (k) +С_hi^v (m_зi + m_3i -  w_ij )( 1- _mi (k))