4.4. Однопродуктовая n-этапная динамическая модель

В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно известен, он может изменяться от этапа к этапу. Уровень запаса контролируется периодически. Хотя запаздывание поставки (выраженное фиксированным числом периодов) допустима, в модели предполагается, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Наконец, дефицит не допускается.

Построение динамической детерминированной модели сводится к конечному горизонту времени. Это объясняется тем, что для получения числового решения соответствующих задач требуется использование метода динамического программирования, который в данном случае можно практически применять только при конечном числе этапов (шагов). Однако это не является серьёзным препятствием, т.к. спрос в отдалённом будущем обычно не оказывает существенное влияние на решение, принимаемое для рассматриваемого конечного горизонта времени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что продукция будет храниться в запасе бесконечно.

Определим для этапа i, i=1, 2, . . . , N, следующие величины:

z_i – количество заказанной продукции (размер заказа),

_i – потребность в продукции (спрос),

x_i – исходный запас (на начало этапа i),

h_i – затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа i в этап i+1,

K_i – затраты на оформление заказа,

c_i(z_i) – функция предельных затрат, связанных с закупкой (производством) при заданном значении z_i.

Пусть , где . Функция ci(zi) представляет интерес только тогда, когда затраты на покупку единицы продукции изменяются во времени или существуют разрывы цены.

Так как дефицит не допускается, то требуется найти оптимальное значения z_i, минимизирующие общие затраты на оформление заказов, закупку и хранение по всем N этапам. Затраты на хранение предполагаются пропорциональными величине , которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i+1. В результате затраты на хранение на этапе i равны h_ix_i+1. Это предположение вводится исключительно с целью упрощения, т.к. модель легко можно обобщить на случай произвольной функции затрат H_i(x_i+1), заменив h_ix_i+1 на H_i(x_i+1). Аналогично для оценивания затрат на хранение можно воспользоваться величинами x_i или (x_i+x_i+1)/2.

Построение модели динамического программирования упрощается, если представить задачу схематически. Каждый этап соответствует одному шагу. Используя обратное рекуррентное уравнение, определим состояние системы на шаге i как объем исходного запаса x_i. Пусть f_i(x_i) – минимальные общие затраты на этапах i, i+1, … , N. Рекуррентное уравнение имеет вид

Прямое рекуррентное уравнение можно получить, определив состояние на шаге i как объем запаса на конец этапа i. Эти состояния заданы величинами x_i+1. На любом шаге на величины x_i+1 наложены следующие ограничения:

Таким образом, в предельном случае объем заказанной продукции z_i на этапе i может быть настолько велик, что запас x_i+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапов.

Пусть f_i(x_i+1) – минимальные общие затраты на этапах 1, 2, … , N при заданной величине запаса x_i+1 на конец этапа i. Тогда рекуррентное уравнение записывается в виде

Прямая и обратная постановка задачи с вычислительной точки зрения эквивалентны. Однако прямой алгоритм наиболее эффективен при анализе важного частного случая рассмотренной выше модели.