Теоретичні відомості Електростатика

Напруженість Е електричного поля  це величина, що дорівнює відношенню сили F, яка діє на позитивний пробний заряд q, розташований в даній точці поля, до цього заряду:

.

Напруженість поля, створеного точковим зарядом q на відстані r від заряду, виражається формулою:

,

де   діелектрична проникність середовища; _о  стала системи СІ, що дорівнює 8,8510^-12Ф/м.

Напруженість поля, створеного зарядженою нескінченно довгою ниткою:

,

де   лінійна густина заряду на нитці; r  відстань від нитки.

Лінійна густина заряду є величина, що дорівнює відношенню заряду, розподіленого вздовж нитки (циліндра), до довжини цієї нитки (циліндра):

.

Напруженість поля, створеного нескінченною рівномірно зарядженою площиною:

,

де   поверхнева густина заряду.

Поверхнева густина заряду є величина, що дорівнює відношенню заряду, розподіленому по поверхні, до площі цієї поверхні:

Напруженість поля плоского конденсатора

.

Сила притягання пластин плоского конденсатора:

,

,

.

Де S – площа пластин плоского конденсатора.

Потенціал електричного поля є фізична величина, яка чисельно дорівнює роботі сил поля по переміщенню одиничного заряду з даної точки в нескінченність:

.

Потенціал поля точкового заряду

,

де r  відстань від заряду.

Потенціальна енергія системи двох зарядів

,

де r − відстань між зарядами, q₁, q₂ − величини відповідних зарядів.

Потенціал пов’язаний з напруженістю електричного поля співвідношенням

.

Похідну беруть вздовж дотичної до електричної силової лінії.

У випадку однорідного поля

,

де ₁ та  ₂  потенціали точок двох еквіпотенціальних поверхонь, d  відстань між цими еквіпотенціальними поверхнями.

У випадку однорідного поля плоского конденсатора

,

де U  різниця потенціалів між пластинами конденсатора, d  відстань між ними.

Робота, що здійснюється електричним полем при переміщенні точкового заряду q з однієї точки поля з потенціалом ₁ в іншу з потенціалом  ₂,

.

У випадку однорідного поля

,

де l  величина переміщення,   кут між напрямом вектора і напрямом переміщення .

Ємність одного провідника

,

де q та   заряд та потенціал провідника.

Ємність плоского конденсатора

,

де S  площа пластин конденсатора, d  відстань між ними,   діелектрична проникність діелектрика, що заповнює простір між пластинами.

Ємність C послідовно з’єднаних n конденсаторів

.

Ємність C паралельно з’єднаних n конденсаторів

.

Енергія зарядженого провідника

,

,

.

У випадку плоского конденсатора

,

,

,

де S  площа кожної пластини конденсатора,   поверхнева густина заряду на пластинах, U  різниця потенціалів між пластинами, d  відстань між пластинами.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Дві кульки однакових радіуса і маси підвішені на нитках так, що їх поверхні дотикаються. Після надання кулькам заряду q_o = 410^-7 Кл вони відштовхнулись одна від одної і розійшлись на кут 2 = 60^о. Знайти масу кожної кульки, якщо відстань від центра кульки до точки підвісу l = 0,2 м.

Розв’язання. На кожну кульку (рис. 1) діє сила тяжіння mg та електрична сила F_ел. Їх рівнодійна дорівнює силі . За геометричними уявленнями

(1)

З іншого боку,

(2)

де , g  прискорення вільного падіння.

.

Звідси

(3)

Підставляючи (3) в (2) та порівнюючи (2) і (1), отримаємо

.

Звідси

,

де _о = 8,8510^-12Ф/м.

;

.

Приклад 2. Електричне поле створене двома точковими зарядами і . Відстань між зарядами . Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на відстані від першого заряду і на відстані від другого.

Розв’язання. Напруженість E електричного поля в шуканій точці може бути знайдена як геометрична сума напруженостей E₁ та E₂ полів, створюваних кожним зарядом окремо (рис. 2):

.

Напруженість електричного поля, створюваного першим зарядом

,

другим зарядом

.

Вектор ₁ напрямлений по силовій лінії заряду q₁, оскільки він додатний; вектор ₂ напрямлений по силовій лінії заряду q₂, оскільки він від’ємний.

Абсолютне значення вектора знайдемо за теоремою косинусів:

,

де   кут між векторами і , що дорівнює 90^о. Із урахуванням цього

;

,

де   діелектрична проникність середовища, що дорівнює 1, _о  стала системи СІ, яка дорівнює .

;

.

Приклад 3. Електричне поле створене двома нескінченними паралельними зарядженими пластинами з поверхневими густинами та . Визначити напруженість електричного поля, створеного цими зарядженими площинами. Якою буде напруженість, якщо ?

Р озв’язання. а) Між пластинами силові лінії електричного поля напрямлені в протилежні сторони (рис. 3а), звідси слідує, що напруженість поля дорівнює різниці напруженостей полів, створюваних першою і другою площинами:

.

Перша площина створює однорідне електричне поле напруженістю

,

друга  напруженістю

.

;

.

б) З рисунка 3б видно, що силові лінії обох полів напрямлені в один бік і напруженість поля дорівнює сумі напруженостей полів та , створених першою та другою площинами:

.

Приклад 4. До плоского повітряного конденсатора, площа пластин якого , прикладена напруга 90 В, при цьому заряд конденсатора виявився рівним 10^-9 Кл. Визначити електричну ємність конденсатора, енергію, накопичену ним, і відстань між пластинами.

Розв’язання. Ємність конденсатора:

; ; .

Енергія, накопичена конденсатором:

; ; .

Ємність плоского конденсатора:

;

звідси

; ; .

Приклад 5. Електрон летить від точки А до точки В, різниця потенціалів між якими 100 В. Якої швидкості набуває електрон в точці В, якщо в точці А вона дорівнювала 0. Маса електрона , заряд .

Розв’язання. Електричне поле здійснює роботу з переміщення електрона

,

що, в свою чергу, переходить в кінетичну енергію електрона

.

На основі закону збереження енергії можна записати

,

звідки

; ; .

Приклад 6. Знайти роботу з переміщення заряду з точки 1 в точку 2 (рис. 4), що знаходяться між двома однойменно зарядженими пластинами з поверхневою густиною . Відстань .

Розв’язання. Робота з переміщення заряду q з точки 1 поля з потенціалом ₁ в точку 2 поля з потенціалом ₂ визначається за формулою

. (1)

Напруженість поля пов’язана з різницею потенціалів між точками 1 та 2 співвідношенням

,

де l − відстань між еквіпотенціаль­ними поверхнями. Звідси

. (2)

О скільки поле однорідне, напруженість поля визначимо, знаючи поверхневу густину заряду на пластинах:

. (3)

Підставивши (3) і (2) в (1), отримаємо:

; ;

.