Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Дві паралельно з’єднаних елемента з ЕРС ₁ = 2 В та ₂ = 4 В та внутрішніми опорами r₁ = 1 Ом та r₂ = 1,5 Ом замкнуті на внутрішній опір R = 1,4 Ом. Знайти струм в кожному з елементів і в усьому колі.

Розв’язання. Довільно виберемо напрям струмів у контурах та напрям обходу. Для вузла А застосуємо перше правило Кірхгофа (рис. 6.)

. (1)

Для контурів А₁BRA та А₂BRA запишемо друге правило Кірхгофа:

, (2)

. (3)

із (2)

, (4)

із (3)

. (5)

Підставивши (4) і (5) в (1), отримаємо

.

Підставляючи числові значення, знаходимо, що І = 0,2 А.

П ідставляючи числові значення в (4), знаходимо, що І₁ = -2,28 А.

Підставляючи числові значення в (5), знаходимо, що І₂ = -2,48 А.

Або, підставивши замість І та І₁ їх значення в (1), отримаємо, що І₂ = -2,48 А.

Від’ємні значення струмів І₁ та І₂ вказують на те, що ці струми течуть в зворотному напрямі.

Приклад 2. По двох довгих паралельних прямолінійних провідниках, що знаходяться на відстані 5 см один від одного, течуть струми по І = 10 А у кожному. Визначити напруженість магнітного поля, створеного струмами в точці, яка лежить на відстані 3 см від першого провідника, для випадків:

а) струми течуть в одному напрямі;

б) струми течуть в протилежних напрямах.

Розв’язання. Результуюча напруженість магнітного поля дорівнює векторній (геометричній) сумі напруженостей полів, створених кожним струмом окремо (рис. 7.):

,

де Н₁ − напруженість поля, створеного струмом І₁, Н₂ − струмом І₂.

Оскільки Н₁ та Н₂ напрямлені по одній прямій, то геометрична сума може бути замінена алгебраїчною сумою . При цьому Н₁ та Н₂ повинні бути взяті із відповідними знаками. Напрями векторів та знайдемо за правилом свердлика.

Для випадку а) . Напруженість магнітного поля, створеного довгим прямим провідником зі струмом І, на відстані а від нього, визначається за формулою . Аналогічно . Струми І₁ = І₂ = І.Тоді:

а )

,

.

б)

,

;

Приклад 3. Соленоїд довжиною 50 см і площею поперечного перерізу 10 см² має 800 витків. Визначити магнітний потік через поперечний переріз соленоїда, якщо через соленоїд протікає струм 2 А.

Розв’язання. Магнітний потік, що пронизує поперечний переріз соленоїда, визначається формулою

,

де B − індукція магнітного поля, створеного струмом, що тече по витках соленоїда,

S − площа поперечного перерізу соленоїда.

Індукція магнітного поля B пов’язана з напруженістю Н поля співвідношенням

,

де  − магнітна проникність в контурі,

_о − стала системи СІ, що дорівнює 12,57∙10^-7 Гн/м.

Напруженість магнітного поля всередині соленоїда

,

де n_o − кількість витків на одиницю витків соленоїда

,

де, в свою чергу, N − кількість витків на соленоїді, l − його довжина.

Тоді

.

Приклад 4. Протон, прискорений різницею потенціалів U = 100 В, влітає в однорідне магнітне поле напруженістю 2,4∙10³ А/м під кутом 60^о до напряму напруженості поля. Визначити радіус і крок гвинтової лінії, по якій буде рухатись протон (маса протона − 1,67∙10^-27кг, заряд − 1,6∙10^-19 Кл).

Розв’язання. Кінетична енергія протона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів U, визначається рівністю:

.

Звідси, швидкість протона

,

.

Н а протон, що влетів до магнітного поля, діє сила Лоренца (рис.8.), перпендикулярна напруженості поля і нормальній складовій швидкості, тобто

, (1)

де  = 1, _о = 12,57∙10^-7 Гн/м, e = 1,6∙10^-19 Кл, Н − напруженість магнітного поля, v_n − нормальна складова швидкості.

З рисунка видно, що

,

де v − швидкість частинки,

 − кут між швидкістю та напруженістю поля.

Оскільки сила Лоренца є доцентровою силою,

F_л = F_д, (2)

то під дією сили Лоренца протон в магнітному полі буде рухатись по колу в площині, перпендикулярній до поля, зі швидкістю, що дорівнює нормальній складовій початкової швидкості.

Одночасно протон буде рухатись і вздовж поля зі швидкістю v_r, що дорівнює складовій початкової швидкості у напрямку поля (v_r = v∙cos).

Радіус кола знайдемо із співвідношення (2):

,

де m − маса протона,

R − радіус кола.

Звідси

,

,

.

Крок h гвинтової лінії дорівнюватиме шляху, пройденому вздовж поля зі швидкістю v_r за час, який потрібен протону для того, щоб здійснити оберт, і визначиться за формулою:

,

де T − період обертання протона. Цей час знайдемо за формулою

.

Підставивши цей вираз періоду в (3),матимемо

,

,

.

Приклад 5. В однорідному магнітному полі з індукцією B = 0,1 Тл рівномірно обертається рамка, що містить N = 1000 витків. Площа рамки S = 150 см². Рамка робить n = 10 об/с. Визначити миттєве значення ЕРС, що відповідає куту повороту рамки на 30^о.

Розв’язання. Миттєве значення ЕРС індукції визначається співвідношенням (рис.9.)

.

При обертанні рамки (див. рис. 9) магнітний потік Ф, що пронизує рамку в момент t, змінюється за законом:

, (2)

де B − магнітна індукція,

S − площа рамки,

 − циклічна частота, пов’язана з кількістю обертів за секунду співвідношенням

. (3)

Підставивши (3) в (2) та про диференціювавши по часу, знайдемо миттєве значення ЕРС індукції:

.

Приклад 6. На залізний стержень ( = 10³) довжиною 50 см і перерізом 2 см² намотаний в один шар провідник так, що на кожен сантиметр довжини стержня припадає 20 витків. Визначити енергію магнітного поля в сердечнику соленоїда, якщо сила струму в обмотці 0,5 А.

Розв’язання. Енергія магнітного поля соленоїда з індуктивністю L, по обмотці якого тече струм I, виражається формулою

. (1)

Індуктивність соленоїда залежить від кількості витків n, які припадають на одиницю довжини, від об’єму сердечника V та магнітної проникності  сердечника, тобто

. (2)

Підставивши (2) в (1), отримаємо:

,

,

.

ОСНОВНІ ПОСТІЙНІ