§5. Метод итераций.

Если каким нибудь способом получено приближенное значение х₀ корня уравнения, то уточнение приближения можно осуществить методом итераций (методом последовательных приближений).

Пусть задано уравнение f(x) = 0, представим его в виде , где <1 всюду на отрезке [a ; b], содержащем единственный корень . Исходя из некоторого начального значения можно построить последовательность: , , ....... ...

Пределом последовательности х₁, х₂, х₃, ..... х_п .... является единственный корень уравнения f(x) = 0 на отрезке [a ; b].

Пример 1.5:

Способом итераций найти приближенное значение корня уравнения 2 – lgx – x = 0 с точностью до 0.001

Решение.

Найдем интервал изоляции действительного корня уравнения.

Представим уравнение в виде:

lgx = – x + 2

Построим графики функций у = lgx и у = – x + 2. Точка М пересечения графиков имеет абсциссу в промежутке [1 ; 2]. Пусть х₀ = 1. Запишем исходное уравнение в виде х = 2 – lgx.

= 2 – lgx,

в промежутке [1 ; 2], следовательно, способ итераций применим.

Найдем приближения:

Таким образом, искомый корень с точностью до 0,001 равен 1,755

Контрольные задания

Отделить корни уравнения графически и методом исследования отрезков.

1. х³ – 12х + 1 = 0. (Ответ: (-4;-3), (0;1),(3;4))

2. х³ + 2х - 7 = 0. (Ответ: (1;2))

3. х³ – 9х² + 18х - 1 = 0. (Ответ: (0;1), (2;3),(6;7))

Решить способом хорд и касательных с точностью до 0,01 следующие уравнения:

4. х⁴ + 3х - 20 = 0. (Ответ: 1,94)

5. х³ - 2х - 5 = 0. (Ответ: 2,09)

6. х⁴ - 3х + 1 = 0. (Ответ: 0,33; 1,30)

7. х³ + 3х + 5 = 0. (Ответ: -1,15)

Применив комбинированный способ хорд и касательных решить уравнение.

8. х⁴ + 5х - 7 = 0. (Ответ: 1,11)

Решить способом итераций с точностью до 0,01 следующие уравнения.

9. х³ - 12х + 5 = 0. (Ответ: 0,42)

10. х⁴ - 2х² - 4х - 7 = 0. (Ответ: 3,62)

Глава II. Интерполирование функций.

§1. Интерполяционный полином Лагранжа.

Пусть дана таблица значений

х	х1	х2	х3	............	хп
у	у1	у2	у3	............	уп

Требуется составить полином (функцию) y = f (x) степени m ≤ n – 1, который принимал бы заданные значения y_i при соответствующих значениях x_i : y_i = f (x_i) (i = 1, 2, 3, ………n). Иными словами график функции должен проходить через заданные точки M (x_i; y_i)

Данная задача выполнима при использовании интерполяционного полинома Лагранжа:

+

+......

....+ (1)

или

(2)

где - вспомогательная функция п-й степени, в которой x_i – заданные табличные значения аргумента.

Пример 2.1

Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице значений

х	1	2	3	4
у	2	3	4	5

Решение.

Вспомогательная функция

Вычислим последовательно при данных значениях х:

= (х - 2)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 3);

, , , .

Тогда по формуле (1)

=

= х + 1

Таким образом, в данном случае в качестве интерполяционного полинома найдена линейная функция f (x) = х + 1.