Глава IV. Приближенное решение дифференциальных уравнений.

§1. Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию у(х₀) = у₀ .

При численном решении дифференциального уравнения (1) задача ставится следующим образом: в точках х₀ , х₀ , х₁ , х₂ ,...., х_п найти приближения для значений точного решения у(х_к)

Разность называется шагом сетки. Во многих случаях величину принимают постоянной. Пусть =h, тогда

x_k = x₀ +kh где (2)

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле

, где (3)

Приближенное значение у_к в точке x_k = x₀ +kh вычисляется по формуле:

- формула Эйлера (4)

Пример 4.1: Методом Эйлера найти значения решения уравнения , для которого у(1) = 1, в пяти точках отрезка [1; 1,5], приняв h = 0,1

Решение. По формуле (2) находим точки х₀ = 1, х₁ = 1,1, х₂ = 1,2, х₃ = 1,3, х₄ = 1,4, х₅ = 1,5. Значения искомой функции у = у(х), удовлетворяющей условиям данной задачи Коши, вычисляем по формуле (4). Результаты вычислений занесем в таблицу.

k	xk	yk	2xk	f(xk , yk ) = 2xk - yk	hf(xk , yk ) = 0,1(2xk - yk)	yk+1 = yk + hf(xk , yk )
0	1,0	1,0000	2,0	1,0000	0,1000	1,1000
1	1,1	1,1000	2,2	1,1000	0,1100	1,2100
2	1,2	1,2100	2,4	1,1900	0,1190	1,3290
3	1,3	1,3290	2,6	1,2710	0,1271	1,4561
4	1,4	1,4561	2,8	1,3439	0,1344	1,5905
5	1,5	1,5905	3,0	1,4095	0,1410	1,7315

§2. Метод Рунге – Кутта. (Один из наиболее употребляемых методов повышенной точности).

Пусть функция у определяется дифференциальным уравнением с начальным условием у(х₀) = у₀ . При численном интегрировании такого уравнения по методу Рунге – Кутта определяются четыре числа:

(5)

Если положить , то можно доказать, что

. (6)

Получаем следующую схему вычислений:

x	y	ki	Δy
x0	y0	k1
		k2
		k3
x0 + h	y0 + k3	k4
x1	y1 = y0 + Δy0	k1
		k2
		k3
x1 + h	y1 + k3	k4
x2	y2 = y1 + Δy1	k1
		k2
		k3
x2 + h	y2 + k3	k4
..............	.............	..............	...............

Пример 4.2:

Составь таблицу значений функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, 0 ≤ х ≤ 1 при h = 0,2 .

Решение.

Используя формулы (5) найдем числа:

Отсюда

Таким образом у₁ = 1 + 0,1832 = 1,1832 при х = 0,2. По этой же схеме находим у₂ и т.д. процесс вычисления ведем по схеме:

x	y	ki	Δy
x0 = 0	y0 =1	k1 = 0,2	= 0,1832
= 0,1	=1,1	k2 = 0,1838
=0,1	1,0918	k3 = 0,1817
x0 + h = 0,2	y0 + k3 = 1,1817	k4 = 0,1686
x1 = 0,2	y1 = y0 + Δy0 = 1,1832	k1 = 0,1690	= 1,1584
= 0,3	= 1,2677	k2 = 0,1589
= 0,3	= 1,2626	k3 = 0,1575
x1 + h = 0,4	y1 + k3 = 1,3407	k4 = 0,1488
x2	y2 = y1 + Δy1	k1
..............	.............	..............	...............

Контрольные задания.

1. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,18	1,25	1,31

Ответ:

2. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,22	1,36	1,52

Ответ:

3. Найти по методу Эйлера три значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3
у	1	1,2	1,45	1,78

Ответ:

4. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 0, принимая h = 0,1.

х	0,1	0,2	0,3	0,4
у	0	0,001	0,005	0,014

Ответ:

5. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии у(2) = 4, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,18	1,25	1,31

Ответ:

6. Найти методом Эйлера численной решение уравнения на отрезке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,2

х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
у	1	1,1	1,18	1,24	1,27	1,27

Ответ:

7. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [1; 2], при начальном условии у(1) = 0, принимая h = 0,1. В первых пяти точках.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	-0,1158	-0,1501	-0,1925	-0,2397	-0,2944

8. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с тремя верными знаками.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	-1	-0,975	-0,949	-0,921	-0,888	-0,842	-0,802	-0,744	-0,675	-0,593	-0,495

9. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с двумя верными знаками.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	1	1,05	1,12	1,20	1,29	1,39	1,50	1,62	1,75	1,89	2,03

Литература.

1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Алгебра: Пособие для самообразования. 2-е изд. М.: Наука, 1990

2. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М.Гусак, Е.А. Бричкова. Мн.: ТетраСистемс,1999

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 1985.

4. Ю.И. Клименко Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: Учебник для вузов / Ю.И. Клименко. – М.: Издательство «Экзамен». 2005г.

5. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 4-е изд., М.: Высшая школа. 1998.

6. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. III. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1971.

7. Д.Т. Письменный, Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.] – 6-е изд. - М.: Айрис – пресс, 2006.