§2. Интерполяционная формула Ньютона.

Пусть у_0, у_1, у_2,....... – значения некоторой функции y = f (x), соответствующие равноотстоящим значениям аргументам х₀, х₁, х₂, ....... (т.е. х_k+1 – x_k = Δx = const ).

Введем обозначения:

Δу₀ = у₁ – у₀, Δу₁ = у₂ – у₁, Δу₂ = у₃ – у₂, ......... , Δу_п-1 = у_п – у_п-1 - разности первого порядка данной функции;

Δ²у₀ =Δ у₁ –Δ у₀, Δ²у₁ =Δ у₂ –Δ у₁, ............. – разности второго порядка

........................................................................

Δ^п+1у₀ =Δ^пу₁ –Δ^пу₀, Δ^п+1у₁ =Δ^пу₂ –Δ^пу₁, ............. – разности (п+1) - го порядка

Производя последовательные подстановки, получим:

Δ²у₀ = у₂ -2у₁ + у₀ , Δ³у₀ = у₃ -3у₂ +3 у₁ – у₀ , ........

Подобным же образом получаем:

у₁ = у₀ + Δу₀ , у₂ = у₀ + 2Δу₀ + Δ²у₀ , у₃ = у₀ + 3 Δу₀ + 3Δ²у₀ + Δ³у₀ , ......

(3)

Запишем таблицу разностей:

х₀ у₀

Δ у₀

х₁ у₁ Δ²у₀

Δ у₁ Δ³у₀

х₂ у₂ Δ²у₁ Δ⁴у₀

Δ у₂ Δ³у₁

х₃ у₃ Δ²у₂

Δ у₃

х₄ у₄

....................................................

Если в формуле (3) положить, что п – не только целое и положительное число, а может быть любым п = t, то получим интерполяционную формулу Ньютона

(4)

Мы получили такую функцию от t, которая обращается при t = 0 в у₀, при t = 1 в у_1, при t = 2 в у₂ и т. д. Поскольку последующее значение аргумента х при постоянном шаге h определяется формулой x_n = x₀ + nh, то . Тогда, полагая x = x₀ + th , приведем формулу (3) к виду (3^*)

х	1	2	3	4	5	6	7
у	3	7	13	21	31	43	57

Пример 2.2:

Из таблицы

Найти значение у при х = 3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Решение. Составим таблицу разностей:

х	у	Δу	Δ2 у	Δ3 у
1 2 3 4 5 6 7	3 7 13 21 31 43 57	4 6 8 10 12 14	2 2 2 2 2	0 0 0 0

Здесь х₀ = 3, х = 3,1, h = 1. Тогда

Интерполяционная формула Ньютона (4) для этого случая:

Следовательно , т.е. при х = 3,1 у = 13,71

Интерполяционная функция Ньютона (3^*)

Контрольные задания

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, найти уравнение параболы проходящей через точки (2; 0), (4; 3), (6; 5), (8; 4), (10; 1).

(Ответ: у = (х⁴ - 26х³ + 220х² – 664х + 640))

2. Даны точки (0; 3), (2; 1), (3; 5), (4; 7). Используя интерполяционную формулу Лагранжа, составить уравнение функции, принимающей указанные значения при заданных значениях аргумента.

(Ответ: у = ( - 2х³ -15х² + 25х -9))

3. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, построить функцию, принимающую значения заданные таблицей.

х	1	3	4	6
у	-7	5	8	14

(Ответ: у = ( х³ -13х² + 69х -92))

4. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, построить функцию, график которой проходит через точки (2; 3), (4; 7), (5; 9), (10; 19).

(Ответ: у =2х - 1)

5. Даны десятичные логарифмы чисел:

lg 2,0 = 0,30103, lg 2,1 = 0,32222, lg 2,2 = 0,34242,

lg 2,3 = 0,36173, lg 2,4 = 0,38021, lg 2,5 = 0,39794.

Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найти lg 2,03.

(Ответ: lg 2,03 = 0,30750)

6. Найти интерполяционный полином Ньютона для функции y = f (x), если известны ее значения f (1) = 6, f (3) = 24, f (4) =45.

(Ответ: у = 4х² - 7х+ 9)

7. Найти интерполяционный полином Ньютона для функции f(x)= 2^x и ее значениям в точках х₀ = -1, х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3 и вычислить f(-0,5) и f(2,5).

(Ответ: у =8 + 4(х - 3) + (х – 3)(х - 2)+ (х – 3)(х - 2)(х – 1) + (х – 3)(х - 2)(х – 1)х, f(-0,5)= 0,700, f(2,5)= 5,658.)

8. Составить интерполяционную формулу Ньютона по данным таблицы

х	0	1	2	3	4
у	1	4	15	40	85

(Ответ: у = х³ + х² + х + 1)