Глава III. Приближенное вычисление определенных интегралов.

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(x). Если можно найти первообразную F(x) функции f(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. Но не всегда первообразная функции выражается через элементарные функции. В этих и других случаях используют приближенные формулы, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Наиболее употребимые формулы – формула прямоугольников, формула трапеции и формула парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

§1. Метод прямоугольников.

Пусть на отрезке [a ; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi. В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту построим прямоугольник с площадью

. Тогда сумма площадей всех п прямоугольников (при достаточно большом п) дает площадь приближенно равную площади трапеции, т.е.

т.е.

- формула прямоугольников (1)

Абсолютная погрешность метода определяется неравенством:

(2)

где (3)

Пример 3.1: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод прямоугольников.

Решение.

=

=

т.к. и :

где

, ,

Следовательно:

Пример 3.2:

Зная, что погрешность метода прямоугольников при вычислении интеграла составляет 0,125, определить число разбиений п.

Решение. Используя формулу (2) получим

Умножим правую и левую части неравенства на дробь , тогда .

т.е или

§2. Метод трапеций.

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

П усть на отрезке [a ; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi, y_i = f (x_i).

Так как площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме площадей трапеций S_i, высота каждой из которых равна h, то:

Абсолютная погрешность метода (аналогично методу прямоугольников) составляет:

где (4)

тогда - формула трапеций. (5)

Пример 3.3: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод трапеций.

Решение. По формуле трапеций:

, т.к. , , то

, , , , .

Тогда , , , , .

Найдем погрешность:

где

, ,

Следовательно