1.3. Поток векторного поля. Дивергенция
1.3.1. Поток векторного поля через поверхность.
Количество жидкости, протекающей за единицу времени через данную (ориентированную) поверхность равно интегралу
где Ап - нормальная составляющая вектора скорости А = (Р, Q, R).
Эту величину мы назвали потоком жидкости через поверхность . Пусть теперь А - произвольное векторное поле и - ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл
мы назовем потоком векторного поля, А через поверхность . Таким образом, если А - скорость движения жидкости, то поток вектора А через некоторую поверхность равен количеству жидкости протекающей через эту поверхность за единицу времени. Для векторного поля иной природы поток имеет, конечно, другой физический смысл.
При м е р. Пусть U = U (х, у, z) - поле температур внутри некоторого тела, k - коэффициент теплопроводности и А = grad U. Согласно закону Фурье, количество тепла dQ, протекающее за единицу времени через элемент d некоторой поверхности , выражается формулой
,
(10)
где
- производная поля температур в направлении
нормали к d.
(Знак минус в правой части равенства
(10) отвечает тому известному факту, что
тепло течет от более нагретых частей
тела к менее нагретым, т. е. в направлении
убывания U.)
Так как
,
то равенство (10) можно переписать в виде
dQ = - k (grad U)п d,
из которого следует, что количество тепла Q, протекающего за единицу времени через всю поверхность , равно
.
(11)
Введя вектор
q = - k grad U,
называемый вектором потока тепла, получаем
Таким образом, количество тепла, протекающее через за единицу времени, равно потоку вектора q через поверхность (отсюда и название «вектор потока тепла»).
1.3.2. Дивергенция
Пусть А - некоторое векторное поле, которое мы снова будем представлять себе как поле скоростей несжимаемой жидкости. Поскольку жидкость несжимаема, поток
П
вектора А через какую-либо замкнутую поверхность равен, очевидно, количеству жидкости, которое за единицу времени возникает или уничтожается в пределах той пространственной области , границей которой служит . Назовем это количество суммарной мощностью источников (если П > 0) или стоков (если П < 0), расположенных в области . Рассмотрим отношение
потока жидкости через поверхность S к объему области , ограниченной этой поверхностью. Оно представляет собой среднюю плотность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возникающей (исчезающей) за единицу времени в единице объема области .
Рассмотрим, наконец, предел
этого отношения,
где знак
означает предел при условии, что область
стягивается к некоторой фиксированной
точке М.
Этот предел можно назвать плотностью
источников (стоков) в точке М.
Он представляет собой скалярную величину
и служит важной характеристикой исходного
поля.
Рассмотрев этот пример, перейдем к общим определениям.
Пусть А - некоторое векторное поле. Поставим в соответствие каждой пространственной области W, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью S, величину
- поток вектора А через внешнюю сторону S. Мы получим некоторую функцию области Ф (W). Легко проверить, что эта функция аддитивна.
Определение. Производная функции Ф (W) по объему, т.е. предел
(12)
называется - дивергенцией векторного поля А и об означается
div А.
Таким образом, введенная нами для поля скоростей несжимаемой жидкости плотность источников представляет собой дивергенцию
этого поля скоростей.
Теорема 1. Если А = (Р, Q, R) - векторное поле, определенное в области W и такое, что функции Р, Q, R непрерывны в W вместе со всеми своими первыми производными, то divA существует во всех точках этой области и в любой декартовой системе координат выражается формулой
div А
(13)
Доказательство. Воспользуемся формулой Остроградского
.
В силу теоремы о
производной тройного интеграла по
объему, производная по объему от правой
части этого равенства существует и
равна
.
Следовательно, тому же самому выражению
равна и производная по объему от левой
его части. Но эта последняя и есть по
определению div А.
3амечание. Часто равенство
div А =
принимают за определение дивергенции. Однако это определение менее удобно, чем принятое нами, так как оно опирается на выбор той или иной системы координат, и мы должны еще доказывать, что сумма
от выбора системы координат не зависит.
А независимость от выбора системы координат выражения (12) очевидна.
Итак, каждому векторному полю А, компоненты которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные, мы поставили в соответствие скалярную функцию div А. Пользуясь этим понятием, мы можем теперь формулу Остроградского записать так:
(14)
т. е. поток вектора А через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен интегралу от дивергенции поля А, взятому по области, ограниченной поверхностью .
Лекция 4