1.3.3. Физический смысл дивергенции для различных полей.

Примеры.

а) Мы уже выяснили, что для поля скоростей А несжимаемой жидкости, движущейся в некоторой пространственной области, выражение

представляет собой суммарную мощность источников расположенных в области , а div А - это плотность источников (т. е. их мощность, приходящуюся на единицу объема). В частности, если А ­ поле скоростей несжимаемой жидкости, у которой нет ни стоков, ни источников, то

div A = 0.

б) Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое некоторым распределением масс. Выясним, что представляет собой дивергенция такого поля. Рассмотрим сначала поле, создаваемое массой т₀, сосредоточенной в точке (х₀, у₀, z₀). В этом случае единичная масса, помещенная в точку (х, у, z), притягивается с силой

F (15)

Здесь  - постоянная тяготения, зависящая от выбора единиц. Впредь мы  писать не будем, считая, что система единиц выбрана так, что  = 1. Вычислим дивергенцию силового поля (15). В каждой точке, отличной от точки (х₀, у₀, z₀), имеем

,

аналогично

,

.

Складывая, получаем

Однако в точке (х₀, у₀, z₀) приведенные выкладки теряют смысл и в этой точке значение div F вообще не определено. Поэтому и значение интеграла

не может быть получено непосредственным вычислением, если область  содержит точку (х₀, у₀, z₀). Таким образом, выражение, стоящее в формуле Остроградского (14) справа, в нашем случае не определено. Однако мы легко можем найти величину, стоящую в этой формуле слева, т. е. поток вектора F через поверхность , ограничивающую объем . Сделаем это. Пусть сначала  - сфера некоторого радиуса а с центром в точке (х₀, у₀, z₀). В каждой точке такой сферы направление вектора, (15) совпадает с направлением нормали к этой сфере. Поэтому проекция вектора (6.15) на нормаль в данном случае равна длине этого вектора, т. е. постоянной величине . Следовательно,

.

Заменив сферу  любой другой замкнутой поверхностью ₁ охватывающей точку (х₀, у₀, z₀), мы получим тот же самый результат.

Действительно, выберем сферу  настолько малой, чтобы она целиком содержалась внутри S₁. Тогда

,

так как левая часть этого равенства представляет собой поток вектора F через границу пространственной области, в которой

div F  0.

Следовательно,

.

Рассмотрим теперь поле тяготения, создаваемое несколькими точечными массами. Это поле равно сумме полей, создаваемых каждой массой в отдельности. Поток суммы полей через некоторую поверхность  равен, очевидно, сумме потоков слагаемых; отсюда вытекает, что поток через некоторую замкнутую поверхность поля тяготения, создаваемого системой материальных точек, равен сумме находящихся внутри этой поверхности масс, умноженной на 4.

С помощью предельного перехода от системы материальных точек к массе, непрерывно распределенной по пространству с объемной плотностью  (х, у, z), можно показать, что при непрерывном распределении масс поток гравитационного поля через замкнутую поверхность  равен заключенной внутри этой поверхности массе, умноженной на 4p. Но эта же масса может быть представлена как интеграл от плотности r (х, у, z), взятый по объему , ограниченному поверхностью . Таким образом, обозначая по-прежнему символом F(х, у, z) значение гравитационного поля в точке (х, у, z), имеем

откуда

,

стоящий здесь справа предел представляет собой дивергенцию векторного поля F. Итак, окончательно получаем: дивергенция гравитационного поля, создаваемого некоторым распределением масс, равна объемной плотности r (х, у, z) этого распределения, умноженной на 4.

в) Те же самые рассуждения, которые мы провели для поля тяготения, можно повторить и для электростатического поля и показать, что дивергенция такого поля равна плотности зарядов, умноженной на 4p. (Это утверждение, известное в электростатике под названием теоремы Гаусса, широко используется в различных задачах, связанных с электростатическими полями, например при вычислении напряженности поля в конденсаторах различной формы.)

Лекция 5