1.4.3. Символическая запись ротора.

Ротор векторного поля А = (Р, Q, R) удобно записывать в виде символического детерминанта

(27)

где i, j, k - единичные векторы, направленные по осям координат, а под умножением символа или на некоторую функцию понимается выполнение соответствующей операции дифференцирования (например, означает ).

Действительно, разложив детерминант (27) по элементам первой строки, получим, что

Лекция 7

1.4.4. Физический смысл ротора.

Физический смысл ротора можно пояснить следующим образом. Будем снова рассматривать векторное поле А как поле скоростей движущейся жидкости. Поместим в таком потоке, в определенной его точке, бесконечно малое колесико с лопастями, расположенными по окружности L этого колесика (рис. 9). Под воздействием потока жидкости такое колесико будет вращаться с некоторой скоростью, зависящей, вообще говоря, от направления оси колесика.

Естественно считать, что линейная скорость каждой точки окружности L по величине будет равна среднему произведений проекций вектора А на направление касательной к L, т. е. будет выражаться формулой

. (28)

По формуле Стокса (25) криволинейный интеграл (28) можно преобразовать в поверхностный интеграл

, (29)

взятый по площади  рассматриваемого колесика. Считая это колесико бесконечно малым, мы можем записать интеграл в виде произведения площади колесика на значение (rot А)_п в его центре, т. е. в виде

R² (rot А)_п

В результате равенство (28) принимает вид

Максимально возможное значение проекции вектора на какое-либо направление есть модуль этого вектора. Поэтому, если направление оси колесика выбрать так, чтобы его скорость v была максимальной (это направление, очевидно, совпадает с направлением rot А), то мы получим

или

Но - это величина угловой скорости  колесика. Итак, мы получили следующий результат: если колесико с лопастями ориентировано так, что скорость его вращения максимальна, то его угловая скорость равна половине rot А, а направление оси совпадает с направлением вектора rot А.

Таким образом, rot А характеризует «вращательную компоненту» поля скоростей; он равен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малой частицы жидкости.

Примеры. 1. Рассмотрим векторное поле с компонентами

P = - y, Q = x, R = 0.

Это поле можно рассматривать как поле скоростей, отвечающее вращению всего пространства вокруг оси z с угловой скоростью . Ротор этого векторного поля равен, как легко проверить, 2k, т. е. он направлен по оси вращения, а по величине равен удвоенной угловой скорости (рис. 10).

Физический смысл этого результата заключается в следующем. Всякая частица жидкости при вращении вокруг оси z участвует в двух движениях: в мгновенном переносном движении со скоростью V = (-y, x, 0) и в мгновенном вращательном движении. Легко видеть, что мгновенная угловая скорость вращения любой частицы совпадает с угловой скоростью  всего макроскопического движения жидкости. Поэтому поле мгновенных угловых скоростей частиц оказывается постоянным и равным . Значит, и поле ротора также постоянно и равно 2. Вся жидкость как бы заполнена бесконечно малыми вихрями.

2. Рассмотрим жидкость, текущую в постоянном направлении с постоянной скоростью, т. е, предположим, что Р, Q и R постоянны. В этом случае rot A  0.

3. Пусть Р = у, Q = 0, R = 0. В этом случае

r ot А = - k.

В последнем примере ротор в каждой точке отличен от нуля, хотя все векторные линии - прямые, параллельные плоскости yz. Это может показаться противоречащим утверждению, что rot А характеризует «вращательную компоненту» поля А. Но на самом деле это не так. Здесь «вращательная компонента» обусловлена не искривлением векторных линий, а изменением скорости движения при изменении расстояния от плоскости yz. Легко сообразить, что колесико с лопастями, поставленное в поток жидкости, движущейся в каждой точке (х, у, z) со скоростью (у, 0, 0), не будет находиться в покое, если только его ось вращения не перпендикулярна оси z.

4. Пусть векторное поле А имеет компоненты:

(30)

Это поле можно рассматривать как поле скоростей жидкости, движущейся в плоскости ху по гиперболам ху = С (рис. 12) так, что величина скорости в каждой точке равна 1. Найдем дивергенцию и ротор этого поля. Имеем:

Здесь дивергенция. положительна, когда |у|>|х|, и отрицательна при |у|<|х|. Физически это означает, что движение несжимаемой жидкости, описываемое полем (30), возможно лишь тогда, когда в тех областях, где ïуï>ïхï, имеются источники, а там, где |у|<|х| имеют место стоки. Ротор поля (30), как и всякого плоскопараллельного поля, направлен в каждой точке по оси z, именно его направление совпадает с положительным направлением оси z во второй и четвертой четвертях и с отрицательным направлением оси z в первой и третьей. И дивергенция, и ротор поля (30) стремятся к нулю, когда х² + y² →, т. е. по мере удаления от начала координат.