1.3.6. Плоское течение жидкости. Формула Остроградского на плоскости.

Рассмотрим плоское векторное поле, т. е. поле, компоненты которого в некоторой декартовой системе координат имеют вид

Р = Р (х, у), Q = Q (x, у), R = 0 (19)

Его можно представлять себе как поле скоростей жидкости, каждая частица которой движется параллельно фиксированной плоскости со скоростью, не зависящей от ее расстояния до этой плоскости (такое движение жидкости называется плоским течением). Дивергенция такого поля равна

Пусть  - цилиндр высоты единица, с основанием G, лежащим в плоскости ху, и боковой поверхностью  (рис. 8). Напишем для области  формулу Остроградского, предварительно заметив, что тройной интеграл от по  численно равен двойному интегралу от этого выражения по плоской области G, поток вектора (19) через поверхность  равен криволинейному интегралу

где n - нормаль к контуру L, а поток через верхнее и нижнее основания цилиндра  равен нулю (последнее вытекает из того, что вектор (19) перпендикулярен оси z). В силу сказанного, формула Остроградского для плоскопараллельного поля А и цилиндрической области  имеет вид

. (20)

О тбросим теперь окончательно третью координату z, будем рассматривать (19) как векторное поле, заданное в плоскости ху. Назовем криволинейный интеграл

(21)

потоком этого векторного поля через контур L. Тогда формула (20), называемая формулой Остроградского для плоскости, означает, что двойной интеграл от дивергенции плоского поля А по некоторой области G равен потоку вектора А через границу этой области.

Легко убедиться в том, что формула (20) - просто эквивалент формулы Грина. Действительно, если мы, как обычно обозначим через а угол между касательной к кривой и положительным направлением оси х, то

cos (n, х) = - sin , cos (n, у) = cos ,

поэтому интеграл (21) можно записать так:

,

или

.

Преобразовав этот криволинейный интеграл в двойной с помощью формулы Грина, мы и получим равенство (20). Это рассуждение можно обратить, т. е. если равенство (20) установлено, то из него можно вывести формулу Грина.

Таким образом, как формула Стокса, так и формула Остроградского в плоском случае превращаются в формулу Грина.

Лекция 6

1. 4. Циркуляция. Ротор

1.4.1. Циркуляция векторного поля.

Пусть снова А = (Р, Q, R) ­ некоторое векторное поле и L - гладкая или кусочно-гладкая кривая. Криволинейный интеграл

или, короче,

где А_ - тангенциальная составляющая поля А на контуре L, мы назовем циркуляцией векторного поля А вдоль кривой L.

Если А = (Р, Q, R) - силовое поле, то его циркуляция вдоль кривой L представляет собой, работу этого силового поля вдоль пути L. Для полей иной природы циркуляция имеет, конечно, другой физический символ.

1.4.2. Ротор векторного поля. Формула Стокса и ее запись в векторных обозначениях.

Если L - замкнутый контур, то криволинейный интеграл

по этому контуру можно преобразовать в поверхностный, воспользовавшись формулой Стокса:

(22)

взятый по некоторой поверхности , натянутой на контур L. Правая часть равенства (22) представляет собой поток через поверхность  вектора

. (23)

Назовем этот вектор рота ром (или вихрем) векторного поля А и обозначим rot А. Таким образом, по определению

. (24)

Пользуясь понятием ротора, мы можем переписать формулу Стокса в следующем компактном виде:

(25)

т. е. циркуляция векторного поля А вдоль некоторого замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур.

В нашем определении ротора участвует не только само векторное поле А, но и некоторая определенная система координат (х, у, z). Однако на самом деле вектор rot А не зависит от выбора координатной системы, а определяется лишь исходным векторным полем А. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой Стокса (25), считая, что поверхность  - это некоторая плоская площадка, а L – ограничивающий ее контур. Применив к стоящему в равенстве (25) справа поверхностному интегралу теорему о среднем, получим

,

где М - некоторая точка, принадлежащая площадке , а  - площадь этой площадки. Будем теперь стягивать площадку  к некоторой фиксированной точке М так, чтобы направление нормали n к этой площадке оставалось все время одним и тем же. В пределе получим

. (26)

Циркуляция вектора А вдоль контура не зависит от выбора координатной системы, поэтому из равенства (26) вытекает, что проекция rot А на направление нормали n не зависит от выбора системы координат. Но направление нормали n мы могли выбрать произвольно, поэтому проекция вектора rot А на любое направление, а следовательно, и сам вектор rot А не зависят от выбора системы координат.