Смысл ограничений:
1) первое – отображает условие изготовление i-й заготовки в требуемом от производства количестве;
2) второе показывает, что суммарный расход материалов не должен превышать выделенных ресурсов.
Целевая функция означает, что суммарные затраты на производство должны быть минимальны.
В том случае, когда предприятие получает один вид материала для выполнения производственной программы (р = 1), применяется упрощенная математическая модель.
(i
= 1,m);
(1.32)
,
(1.33)
где аij – количество i-х заготовок, полученных при j-м варианте раскроя;
хj – количество материала стандартного вида, используемого по j-му
варианту раскроя.
Информационное обеспечение модели.
В данной ЭММ все информационные элементы изначально задаются конкретными условиями. Необходимо знать производственную программу, потребность в заготовках, лимиты. В модели остается неясной информация о возможных вариантах раскроя (а), которую необходимо определить. Решение этой задачи зависит от того, какой исходный материал получает предприятие и какие заготовки необходимо из него выкроить. Задача является трудноразрешимой, если раскрой осуществляется в 2 измерениях. В связи с тем, что количество возможных вариантов раскроя велико и перебрать их практически невозможно, как правило, ищут варианта раскроя материала по первой заготовке, а из получаемых отходов получают заготовки меньшего размера. Опытным путем составляется 10-15 вариантов раскроя и на их основе строится модель.
Если раскрой материала осуществляется в одном измерении, то возможно перебрать все варианты.
При поиске вариантов раскроя строится специальная таблица. В первом столбце такой таблицы располагаются номера вариантов раскроя, в последнем –остаток материала, а в промежутке между ними – столбцы, содержащие размеры заготовок. Причем в столбцах размеры заготовок должны располагаться в порядке убывания.
Перебору подлежат только рациональные варианты раскроя. Рациональными считаются такие варианты, при которых в остатке будет материал размером меньше самой маленькой из выкраиваемых заготовок.
В первом варианте раскроя принимается максимальное количество наибольших по размеру заготовок. Остаток материала перераспределяется между остальными заготовками. При переборе вариантов из полученного остатка пытаются выкроить максимальное количество заготовок, расположенных в третьем столбце таблицы. В последующих вариантах количество этих заготовок сокращается на одну до тех пор, пока их количество не станет равным нулю. Как только получен нуль в третьем столбце, в последующих вариантах пытаются получить максимальное количество заготовок расположенных в четвертом столбце, а затем их количество также постепенно сокращают до нуля. Эта процедура выполняется до тех пор, пока в предпоследнем столбце таблицы не будет получено максимальное количество заготовок наименьшего размера, а в остальных столбцах, за исключением второго, будут находиться нули. После этого количество заготовок наибольшего размера (расположенных во втором столбце) сокращается на единицу и вся процедура повторяется. В самом последнем варианте раскроя в предпоследнем столбце таблицы будет находиться максимальное количество заготовок наименьшего размера, а во всех промежуточных столбцах, содержащих размеру заготовок, будут находиться нули.
Проиллюстрируем эту процедуру примером.
Пусть у нас имеется некоторое количество единиц стандартного материала размером 1000 мм. Из этого стандартного материала нам необходимо выкроить некоторое количество заготовок трех размеров: 350, 220 и 150 мм. Найдем возможные варианты раскроя стандартного материала (табл. 1.3).
Таблица 1.3
Схема построения вариантов раскроя
Варианты |
Размеры заготовок, мм |
Остаток, мм |
||
раскроя |
350 |
220 |
150 |
|
1 |
2 |
1 |
0 |
80 |
2 |
2 |
0 |
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
1 |
60 |
4 |
1 |
1 |
2 |
130 |
5 |
1 |
0 |
4 |
50 |
6 |
0 |
4 |
0 |
120 |
7 |
0 |
3 |
2 |
40 |
8 |
0 |
2 |
3 |
110 |
9 |
0 |
1 |
5 |
30 |
10 |
0 |
0 |
6 |
100 |
Итак, в результате найдено десять вариантов раскроя единицы стандартного материала, которые и будут использованы в дальнейшем в математической модели данной задачи.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА