Построение экономико-математической модели оптимизации транспортных процессов

Снижение затратного характера работы ставит перед предприятиями задачу оптимизации транспортных процессов, максимального сокращения расходов, связанных с доставкой продукции производственно-технического назначения от ее изготовителей до потребителей.

При решении задач оптимизации транспортных процессов в качестве критерия оптимальности в основном используется показатель — минимум провозной платы, который успешно применяется для сокращения транспортных расходов поставщиков и потребителей продукции и обеспечивает получение плана перевозок, оптимальных с точки зрения показателей предприятий.

Сложной является проблема определения однородности продукции. Однородность продукции необходимо оценивать не только с точки зрения ее качества, но и по способу транспортировки. Так, некоторые продукты можно перевозить в таре или наливом в цистернах, в специальной упаковке или в контейнерах и т. п. В этих случаях затраты на транспортировку одного и того же продукта будут различными, и по этой причине продукт нельзя считать однородным.

Основной математической моделью, используемой для решения задач оптимального прикрепления потребителей к поставщикам и составления оптимальных планов перевозок, является так называемая транспортная задача линейного программирования (Т-задача).

В общем виде данная задача имеет следующую формулировку:

в m пунктах A₁, A₂,...,A_m производится некоторый однородный продукт, причем объем производства в пункте A_i составляет а_i единиц ( i=1, 2, ...,m).

Указанный продукт потребляется в n пунктах В₁, В₂, ..., B_n, а объем потребления в пункте В_j составляет b_i единиц (j=1,2,…,n).

Известны транспортные расходы по перевозке единицы продукции из пункта A_i в пункт В_j, которые равны C_ij и приведены в матрице транспортных расходов С:

С₁₁ С₁₂ … С_1n

= C₂₁ C₂₂ … C_2n

C_m1 C_m2 … C_mn

Требуется составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам (план перевозок), при котором весь продукт вывозится из пунктов производства и удовлетворяются запросы всех потребителей, а общая величина транспортных издержек является минимальной.

Для составления математической модели данной задачи принимаем количество продукта, перевозимого из пункта А_i в пункт В_j, равным Х_ij. В этом случае поставленные нами условия можно записать следующим образом.

Определить множество переменных Х_ij > 0 (i=1, 2, ..., m, j=1. 2, ..., n), удовлетворяющих условиям (1):

; (2.1)

, (2.2)

при которых целевая функция

(2.3)

достигает минимума.

Условие (2), необходимое и достаточное для разрешимости данной задачи, сводится к балансу

.

Условие (1) характеризует вывоз продукции из всех пунктов производства, а условие (2) означает полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления.

Переменные нумеруют с помощью двух индексов, а набор Х_ij, удовлетворяющий условиям (1) и (2), записывают в виде матрицы

Х₁₁ Х₁₂ … Х_1n

= Х₂₁ Х₂₂ … Х_2n

Х_m1 Х_m2 … Х_mn

Матрицу Х называют планом перевозок Т-задачи, а переменные X_ij  перевозками. План Х_опт, при котором целевая функция (2.3) минимальная, называется оптимальным планом.

Рассмотрим пример составления плана перевозок однородного продукта с трех пунктов отправления в четыре пункта назначения при следующих исходных данных:

- ресурсы поставщиков: А₁= 170, А₂=250 А₃=180;

- фонды потребителей: B₁=150, B₂=230, B₃=160, B₄=60.

Матрица транспортных расходов дана в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Матрица транспортных расходов

	Потребитель
Поставщик	1	2	3	4
1	С11 = 3	С12 = 5	С13 = 6	С14 = 2
2	С21 = 6	С22 = 4	С23 = 7	С24 = 5
3	С31 = 5	С32 = 4	С33 = 6	С34 = 5

В этой задаче ограничения можно записать следующим образом:

а) по ресурсам поставщиков

Х₁₁ + Х₁₂ + Х₁₃ + Х₁₄ = 170;

Х₂₁ + Х₂₂ + Х₂₃ + Х₂₄ = 250;

Х₃₁ + Х₃₂ + Х₃₃ + Х₃₄ = 180;

б) по фондам потребителей

Х₁₁ + Х₂₁ + Х₃₁ = 150;

Х₁₂ + Х₂₂ + Х₃₂ = 230;

Х₁₃ + Х₃₂ + Х₃₃ = 160;

Х₁₄ + Х₂₄ + Х₃₄ = 60;

в) при условии не отрицательности поставок

Х₁₁ ≥ 0, Х₁₂ ≥ 0, …, Х₃₄ ≥ 0.

Целевая функция на минимум издержек имеет вид

3 Х₁₁ + 5Х₁₂ + 6Х₁₃ + 2Х₁₄ + 6Х₂₁ + 4Х₂₂ + 7Х₂₃ + 5Х₂₄ + 5Х₃₁ + 4Х₃₂ + 6Х₃₃ + 5Х₃₄→ min