Короткі теоретичні відомості
Класична форма подання математичної моделі – це опис системи керування за допомогою диференційного рівняння:
(4.1)
Реальні САК мають математичні моделі у вигляді складних диференціальних рівнянь, вирішення яких в загальному вигляді в більшості випадків неможливе. Тому використовують спеціальні методи, серед яких найбільш поширеним є метод перетворення Лапласа. Він базується на заміні функцій часу їх зображеннями.
Перетворенням Лапласа називається співвідношення:
(4.2)
Це співвідношення ставить у відповідність функції x(t) дійсної змінної t функцію X(s) комплексної змінної s (s = + j). При цьому x(t) називають оригіналом, а X(s) – зображенням по Лапласу:
x(t) X(s), або X(s) x(t).
У літературі також зустрічається символічний запис: X(s)=L{x(t)}, де L - оператор Лапласа.
Зворотне перетворення Лапласа дозволяє за відомим зображенням функції знайти її оригінал:
(4.3)
У символічній формі: x(t) = L-1{X(s)}, де L-1 – зворотний оператор Лапласа.
Застосуємо до лівої і правої частин
рівняння (4.1) перетворення Лапласа,
вважаючи, що всі початкові умови нульові.
Отримаємо рівняння в зображеннях, що
зв'язує перетворення Лапласа входу
і виходу
:
Можна винести за дужки
в лівій частині і
в правій частині:
Розділивши на отримаємо передавальну функцію системи за Лапласом:
(4.4)
Передавальну функцію системи керування можна розбити на блоки – ланки. Для того, щоб показати взаємозв'язки цих блоків, використовують структурні схеми. На них кожен елемент зображується у вигляді прямокутника, усередині якого записується його передавальна функція (рис. 4.1). Вхід і вихід блоку показують відповідно вхідними і вихідними стрілками:
Рисунок 4.1 – Зображення передавальної функції елемента системи
При побудові структурних схем користуються такими правилами:
1. Передавальна функція системи, що представлена послідовним з’єднанням ланок, дорівнює добутку передавальних функцій всіх ланок, що входять у з’єднання.
2. Передавальна функція системи, що представлена паралельним з’єднанням ланок, дорівнює сумі передавальних функцій всіх ланок, що входять у з’єднання.
3. Передавальна функція системи, що представлена контуром з негативним зворотним зв'язком, дорівнює наступному виразу:
Найбільш просто виконується моделювання системи регулювання за передавальною функцією з використанням елементарних ланок (інтегруюча, пропорційна, суматор). Ці ланки легко можуть бути реалізовані як апаратно, так і програмно. Для реалізації передавальної функції системи, що описується виразом (4.4), необхідно скласти структурну схему, яка може бути представлена трьома способами:
прямого програмування;
паралельного програмування;
послідовного програмування.
Наприклад, розглянемо систему з передавальною функцією:
(4.5)
Метод прямого програмування. Виразимо
вихідну величину
,
використовуючи проміжну змінну
:
, (4.6)
,
(4.7)
За рівняннями (4.7) та (4.6) складемо схему моделювання (рис. 4.1).
Рисунок
4.1 – Схема моделювання системи методом
прямого програмування
Структурну схему для паралельного програмування можна отримати з передавальної функції (4.5), якщо представити її у вигляді суми елементарних дробів
. (4.8)
Визначаємо коефіцієнти
,
,
:
;
;
. (4.9)
У пакеті MatLab корені знаменника визначаються за допомогою наступних команд:
>> coef = [1, 7, 12, 0]; % коефіцієнти многочлена
>> r = roots (coef) % корені многочлена
>> r =
0
-4
-3
Також для розкладу виразу (4.8) на суму простих дробів можна скористатися функцією parfrac математичного пакету MatCad:
Рисунок 4.2 – Схема моделювання системи методом паралельного програмування
Структурна схема для послідовного програмування може бути отримана з передавальної функції (4.8), якщо її представити як добуток простих передавальних функцій. При послідовному програмуванні для кожної простої передавальної функції складається схема моделювання, які потім послідовно з’єднуються.
Розкладемо передавальну функцію (4.8) на добуток простих передавальних функцій і складемо схему моделювання (рисунок 4.3).
. (4.10)
Рисунок 4.3 – Схема моделювання системи методом послідовного програмування