Практична робота № 2

Тема. Математичний опис цифрових систем керування. Решітчасті функції та різницеві рівняння

Мета роботи: навчитись складати та розв’язувати різницеві рівняння

Короткі теоретичні відомості

Різницеві рівняння за своїми властивостями та областями застосування досить близькі до диференціальних рівнянь. Відмінність полягає у тому, що диференціальні рівняння зв’язують значення функції та її похідних в один і той же момент часу:

, (2.1)

а різницеві рівняння  значення функції у різні моменти часу:

. (2.2)

Однорідне лінійне різницеве рівняння з постійними коефіцієнтами має вигляд:

(2.3)

Отримати різницеві рівняння можна декількома способами:

• дискретизацією звичайних диференціальних рівнянь;

• складанням математичних моделей об’єктів з дискретним часом;

• аналізом математичних рядів та рекурентних співвідношень.

Дискретизація звичайних диференціальних рівнянь.

Першою похідною безперервної функції f(x) називається відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо він прямує до нуля:

. (2.4)

Якщо виконати дискретизацію безперервної функції, замінивши безперервний аргумент t на дискретний nT, де n = 0, 1, 2…N, T – період дискретизації, отримаємо дискретний аналог першої похідної – першу пряму різницю решітчастої функції:

. (2.5)

Аналогічно замінюються похідні другого і вищих порядків:

(2.6)

. (2.7)

Приклад 1. Виконати дискретизацію диференціального рівняння.

.

Замінимо першу та другу похідні відповідними різницями (2.4) і (2.5).

,

Зведемо подібні та отримаємо шукане різницеве рівняння:

.

Складання математичних моделей об’єктів з дискретним часом.

Розглянемо старовинну задачу, сформульовану італійським математиком Фібоначчі у ХІІІ ст.

Фермер годує кроликів. Кожен кролик народжує одного кролика, коли йому стає 2 місяці, а потім дає потомство в один кролик кожного місяця. Скільки кроликів буде у фермера через n місяців, якщо спочатку у нього був лише один (вважаємо, що кролики не гинуть і кожен народжений дає потомство за вище описаною схемою)?

Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається один кролик, оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде два кролика, оскільки перший через два місяці народить другого кролика. На четвертий місяць перший кролик дасть ще одного, а другий кролик потомства не дасть, оскільки йому ще тільки один місяць. Отже на четвертий місяць буде три кролики. Далі на п’ятий місяць до цих трьох кроликів необхідно додати потомство від тих, що народилися 2 місяці тому, тобто у третьому місяці  двох. Отже на п’ятий місяць маємо 5 кроликів.

Можна помітити, що кількість кроликів після n-го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n – 1 місяці плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів, що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким вже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n – 2 місяця).

Якщо через y[n] позначити кількість кроликів після n-го місяця, то має місце наступне рекурентне співвідношення:

y[n] = y[n1] + y[n2],

Тобто маємо однорідне різницеве рівняння другого порядку:

y[n+2]  y[n+1] y[n] = 0.

Таким чином утворюється послідовність Фібоначчі:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... ,

Аналіз математичних рядів та рекурентних співвідношень.

Будь-яку арифметичну або геометричну прогресію можна описати різницевим рівнянням.

Приклад 2. Скласти різницеве рівняння за геометричною прогресією:

1, а, а², а³,…

Кожен наступний елемент прогресії дорівнює добутку попереднього і константи а: y[n+1] = ay[n]. Маємо однорідне різницеве рівняння першого порядку:

y[n+1]  ay[n] = 0

Розв’язування однорідних різницевих рівнянь методом характеристичного полінома

Характеристичним поліномом називається алгебраїчне рівняння, отримане з різницевого рівняння (2.3) шляхом заміни y[nk] = z^-k:

. (2.8)

Вид розв’язку різницевого рівняння (1.3) залежить від коренів його характеристичного поліному, які можуть бути комплексними, дійсними, простими і кратними.

1. Загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння (2.3), характеристичний поліном якого має дійсні і різні корені має вигляд:

, (2.9)

де – корені характеристичного рівняння, а – довільні постійні.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння .

Характеристичний поліном має дійсні різні корені: , , загальний розв’язок запишемо у вигляді:

.

2. Загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння (1.3), характеристичний поліном якого має пару комплексно-спряжених коренів , має вигляд:

, (2.10)

де , .

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння .

Характеристичний поліном має пару комплексно-спряжених коренів . Модуль і аргумент коренів: , .

Загальний розв’язок запишемо у вигляді:

3. Якщо корені характеристичного поліному мають кратність k, то відповідні доданки у загальному розв’язку різницевого рівняння множаться на поліном степені k1:

. (2.11)

Приклад 5. Знайти загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння .

Характеристичний поліном має корені: , , . Третій корінь має кратність k = 1, тому третій доданок у розв’язку помножимо на поліном першого порядку: n .

Загальний розв’язок запишемо у вигляді:

Розв’язування лінійних однорідних різницевих рівнянь з урахуванням початкових і крайових умов

Загальний розв’язок, в який входять довільні постійні , задає сімейство розв’язків різницевого рівняння. Для знаходження необхідного частинного розв’язку необхідно знайти ці постійні , задавши n умов, що пов'язують значення в різних точках. Крайовими умовами називаються умови, частина яких задається на початку, а частина – в кінці інтервалу розв’язку.

Приклад 6. Знайти розв’язок однорідного різницевого рівняння з урахуванням крайових умов y[1]=2, y[10]=1024.

Характеристичний поліном має дійсні різні корені , . Загальний розв’язок запишемо у вигляді:

Підставивши крайові умови у загальний розв’язок отримаємо систему:

,

звідки , , тобто .