Завдання до теми

1. Виконати дискретизацію диференціального рівняння

а) b₃ = 1.5, b₂ = -2, b₁ = -4;

б) b₃ = 1.6, b₂ = 3, b₁ = 5;

в) b₃ = 2, b₂ = -4,5, b₁ = 2,6.

2. Скласти різницеве рівняння за математичними рядами:

а) a, a+d, a+2d,…;

б) 2, 4, 8, 16, 32,…;

в) 50, −25, 12,5, −6,25, 3,125,…

3. Знайти загальний розв’язок однорідного різницевого рівняння

а) рівняння Фібоначчі;

б) ;

в) ;

г) .

4. Знайти розв’язок однорідного різницевого рівняння з урахуванням початкових та крайових умов

а) , y[0]=0, y[1]=1;

б) , y[1]=2, y[2]=0;

в) , y[0]=1, y[10]=10;

Контрольні питання

1. Що спільного і відмінного між диференціальними і різницевими рівняннями?

2. Якими способами можна отримати різницеве рівняння?

3. Що таке різниця решітчастої функції?

4. Як виконується дискретизація звичайних диференціальних рівнянь?

5. Від чого залежить загальний розв’язок різницевого рівняння?

6. Як знайти частинний розв’язок різницевого рівняння, що задовольняє початковим або крайовим умовам?

Література: [3, с. 13-24], [6, с. 5-31].

Практична робота № 3

Тема. Математичний апарат z-перетворення

Мета роботи: вивчити основні властивості z-перетворення, навчитись виконувати пряме та зворотне z-перетворення функцій.

Короткі теоретичні відомості

Z-перетворення є одним з математичних методів, розроблених на основі перетворення Лапласа для аналізу і проектування дискретних систем.

Сигнали в дискретних системах представляються у вигляді числових послідовностей і описуються решітчастими функціями. Виконаємо перетворення Лапласа для вихідного сигналу імпульсної системи:

, (3.1)

де Т – період квантування.

. (3.2)

Зображення F^(s) не є раціональною функцією відносно s, оскільки містить множник . Тому необхідно перетворити ірраціональну функцію F^(s) у раціональну F(z) шляхом заміни комплексної змінної s іншою комплексною змінною z, так що:

. (3.3)

Розв’язавши рівняння (3.3) відносно s, отримаємо:

. (3.4)

Отже, F(z) можна визначити як z-перетворення функції :

(3.5)

Оскільки z-перетворення функції випливає із перетворення Лапласа з виконанням заміни (3.3), то в загальному випадку для будь-якої функції, що має перетворення Лапласа, також існує z-перетворення.

Альтернативний вираз для z-перетворення можна отримати, якщо використовувати заміну .

Приклад 1. Знайти z-перетворення дискретного сигналу x[n], що має вид:

.

Сигнал x[n] можна представити скінченою числовою послідовністю x[n] = (0, 1, 1, 1, 0) або графічно.

Відповідно до (3.5) z-перетворенням сигналу x[n] є послідовність:

.

Як видно із (3.5), z-перетворення безперервної функції є числовим рядом, який сходиться, якщо усі його члени обмежені і виконується умова . Тоді (3.5) є нескінченою геометричною прогресію, сума якої може бути представлена у вигляді:

, (3.6)

де а  перший член ряду, q  знаменник прогресії.

Таким чином для багатьох функцій часу z-перетворення можна отримати в замкненому вигляді.

Приклад 2. Знайти z-перетворення в замкненому вигляді одиничної ступінчатої функції , n = 0, 1, 2….

Відповідно до (3.5) z-перетворення цієї функції:

Перший член ряду а = 1, знаменник прогресії , тому сума прогресії:

.

Основні властивості z-перетворення

1. Властивість лінійності. Зображення лінійної комбінації решітчастих функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації їх зображень:

. (3.7)

2. Запізнювання і випередження (зсув за часом на ціле число періодів). Для решітчастої функції, зсунутої вправо (що запізнюється) на m періодів, маємо:

(3.8)

де F(z) – зображення функції f [n].

Для решітчастої функції, зсунутої вліво (що випереджає) на m періодів, маємо:

(3.9)

3. Множення оригіналу на експоненту Зображення незміщеної решітчастої функції записуємо у вигляді:

(3.10)

4. Зображення різниць (аналог зображення похідної). Для різниці k-го порядку за нульових початкових умов, тобто n=0, маємо:

, (3.11)

звідки для першої різниці (k=1)

. (3.12)

5. Зображення суми (аналог зображення інтеграла). Зображення суми дискретних значень решітчастої функції має вигляд:

(3.13)

6. Початкове значення решітчастої функції. При n=0 значення решітчастої функції обчислюється за формулою:

(3.14)

7. Кінцеве значення решітчастої функції. При n =  запишемо:

(3.15)

8. Згортка решітчастих функцій. Якщо і , то

. (3.16)

Таблиця 1.2 – Z-перетворення основних функцій

Безперервна функція	Решітчаста функція	Зображення за Лапласом	z-перетворення
	1	1	1
t

Приклад 3. Знайти z-зображення послідовності

Згідно з властивістю лінійності (3.7):

На підставі теореми про затримку (3.8):

Знайдемо z-перетворення функції , використовуючи формулу (3.5):

Отримана числова послідовність є нескінченою геометричною прогресією, перший член якої а = 1, знаменник , тоді, з урахуванням (3.6), її сума дорівнює:

.

Тоді z-перетворення функції :

.

Обернене z-перетворення

На відміну від перетворення Лапласа, для якого прямий та зворотний переходи є однозначними, z-перетворення та зворотне z-перетворення не є мають цієї властивості. Це пояснюється не врахуванням при перетворенні поведінки функції між моментами квантування. В той же час перетворення і обернене перетворення є взаємно однозначними.

Обернене z-перетворення позначається як

(3.17)

У загальному випадку обернене z-перетворення може бути визначене одним з наступних трьох методів.

1. Метод розкладання на прості дроби. Цей метод оснований на можливості представлення раціональної алгебраїчної функції у вигляді суми простих дробів виду , за методом невизначених коефіцієнтів. Знайти обернене z-перетворення простого дробу не можливо, проте відомі зворотні z-перетворення для дробів:

,

.

Отже розкладати на прості дроби функцію необхідно функцію , а потім множити кожен дріб на z. Потім, використовуючи властивості та таблицю z-перетворення, виконати обернене z-перетворення.

Приклад 4. Знайти обернене z-перетворення функції методом розкладання на прості дроби.

Розкладемо на прості дроби:

,

,

,

,

Розв’язавши систему рівнянь знайдемо коефіцієнти А, В, С та підставимо їх у вираз для :

А = 1, В = -2, С = -1,

,

.

Скориставшись таблицею z-перетворень, маємо:

2. Метод розкладання в степеневий ряд. Обернене z-перетворення функції може бути визначене розкладанням її в нескінчений ряд по степеням з коефіцієнтами, що відповідають значенням функції в моменти квантування:

(3.18)

За цим методом чисельник і знаменник функції спершу виражаються через показник степені , що збільшується, а потім шляхом ділення в стовпчик записується ряд. Отримані при цьому коефіцієнти ряду є значеннями шуканої решітчастої функції.

Приклад 5. Знайти обернене z-перетворення функції методом розкладання в степеневий ряд

.

Виконаємо ділення і знайдемо перші чотири члени ряду

Таким чином обернене z-перетворення являє собою числову послідовність [1; 3; 3,6439; 2,5756;…]