Завдання до теми

1. Знайти z-перетворення дискретних послідовностей f[n]:

а)

б)

в) г)

2. Знайти z-перетворення функцій в замкненому вигляді

а) ;

б) ;

3. Обчислити z-перетворення для функції часу за відомим зображенням за Лапласом:

а) ,

б) , ;

в) , .

4. Знайти обернене z-перетворення функції методом розкладання на прості дроби:

а) ;

б) ;

в) .

5. Знайти обернене z-перетворення функції методом розкладання в степеневий ряд:

а) .

Контрольні питання

1. Що називається дискретним перетворенням Лапласа?

2. Що таке z-перетворення? Чому воно більш придатне для дослідження цифрових систем порівняно з дискретним перетворенням Лапласа?

3. У якому випадку z-перетворення послідовності можна записати у замкненому вигляді?

4. Назвіть основні властивості z-перетворення.

5. Які є методи знаходження оберненого z-перетворення?

6. Поясніть суть методу розкладання на прості дроби.

Література: [3, с. 13-21], [5, с. 67-111].

Практична робота № 4

Тема. Основи аналізу дискретних САК

Мета роботи: навчитись визначати передавальні функції та імпульсні характеристики дискретних систем.

Короткі теоретичні відомості

Якщо у САК є хоча б один елемент у якому сигнал змінюється стрибкоподібно, така система називається дискретною, а процеси що протікають у ній, описуються різницевими рівняннями. Математичну модель дискретної системи можна подати у виді різницевого рівняння, системи різницевих рівнянь або дискретної передавальної функції.

Важливою характеристикою дискретної системи є її імпульсна характеристика  реакція системи на одиничний дискретний імпульс (рис.4.1).

Рисунок 4.1  Імпульсна характеристика дискретної системи

Будь-яку послідовність u[n], що подається на вхід дискретної системи, можна представити як суму добутків елементів послідовності та δ-функцій:

. (4.1)

Вихідна послідовність може бути записана як сума реакцій на вхідні імпульси:

. (4.2)

Тобто вихідний сигнал дискретної системи є згорткою вхідного сигналу та імпульсної характеристики.

Дискретною передавальною функцією системи називається відношення z-перетворення вихідної послідовності до z-перетворення вхідної послідовності:

. (4.3)

У загальному випадку дискретна передавальна функція системи визначається як z-перетворення її імпульсної характеристики:

. (4.4)

Приклад 1. Записати дискретну передавальну функцію системи, на вхід якої надходить послідовність , а на виході формується відгук у вигляді послідовності .

Оскільки z-перетворення вхідної і вихідної послідовностей мають вид: і , дискретна передавальна функція системи відповідно до (4.3) визначається як:

.

Приклад 2. Записати дискретну передавальну функцію системи, яка описується неоднорідним різницевим рівнянням:

.

Виконаємо z-перетворення рівняння:

,

.

Приклад 3. Використовуючи z-перетворення та теорему про згортку решітчастих функцій, обчислити реакцію дискретної системи на вхідну послідовність x[n] = [1; 1; 1; 0; 0; 0; ...], якщо імпульсна характеристика представлена послідовністю w[n] = [0; 0; 1; 1; 0; 0; ...].

Знайдемо z-перетворення послідовностей x[n] і w[n]:

,

.

Скориставшись теоремою про згортку решітчастих функцій (3.16) знайдемо z-перетворення вихідного сигналу:

,

.

Виконаємо обернене z-перетворення:

y[n] = [0; 0; 1; 2; 2; 1; 0;…].

Приклад 4. Обчислити імпульсну характеристику та передавальну функцію дискретної системи, якщо вихідна послідовність задана різницевим рівнянням y[n] = 4x[n]  1,5x[n1].

Знайдемо z-перетворення вихідної послідовності:

.

Відповідно до (4.3) передавальна функція:

.

Імпульсна характеристика може бути знайдена як обернене z-перетворення передавальної функції:

.