2.Екі айнымалыға тәуелді курделі функция туындысы

Көп айнымалы функцияның толық дифференциалы және дифференциалдану шарты.

Күрделі екі айнымалы функция туындысының жалпы жағдайы

Дербес туынды - көп айнымалды u=f(x₁,x₂,...,x_n) функциясының дербес туындысы деп осы функцияны x₁,x₂,...,x_n айнымалыларының біреуі, мысалы x_i бойынша алынған туындыныайтады, бұл жағдайда басқа айнымалылар тұрақты деп есептеледі (белгіленуі ∂u/∂x_i или f'_xi). Бұл туынды бірінші ретті дербес туынды деп аталады.

z=f(M) функциясы M(x;y) нүктесінің кейбір U(M) маңайында анықталсын. Егер y-ті тұрақты деп есептеп, х-ке ∆х өсімшесін берсек, функцияның сәйкес өсімшесін z-тің х бойынша дербес өсімшесі деп атайды да, ∆_хz арқылы белгілейді: ∆_хz = f(х+ ∆х, у)-f(x;y). Осы сияқты х-ті тұрақты деп у-ке ∆у өсімшесін берсек, функцияның сәйкес өсімшесін z-тің у бойынша дербес өсімшесі деп атайды да, ∆_уz = f(х, у+∆у) - f(x;y) деп белгілейді. Егер х пен у аргументтеріне сәйкес ∆х және ∆у өсімшелерін берсек, функцияның ∆z өсімшесін толық өсімше деп атайды: ∆_уz = f(х+ ∆х, у+∆у) - f(x;y); жалпы ∆z=∆_хz+∆_уz.

Анықтама. Егер шек бар болса, онда ол шек z=f(х,у) функциясының М(х,у)нүктесіндегі х бойынша (у бойынша) дербес туындысы деп аталады және z_х’, f_x’(x,y), , символдарының біреуімен белгіленеді. Сонымен,

Осы сияқты екіден көп айнымалы функциялар үшін де дербес туындылар анықталады. Мысалы, u=f(x₁,x₂,…,x_m,) функциясы үшін k=1,2,...,m болғанда

Бізге кеңістіктің Q аймағында анықталған үзіліссіз функциясы берілсін. Осы аймақта жататын нүктесін аламыз. Егер пен -ке тұрақты мен мәндерін беріп -ті өзгертетін болсақ, онда бір айнымалы -тің ( маңайында) функциясы болады. Енді мәніне өсімшесін берсек, онда функцияның

өсімшесін табамыз. Функцияның осы өсімшесі бойынша алынған дербес өсімше деп аталады. Ал мынашек

функциясының нүктесінде бойынша алынған дербес туынды деп аталады да, келесі символдардың бірімен белгіленеді:

Бұл символдардың төменгі жағында тұрған индекс туындының қай айнымалы бойынша алынатынын көрсетеді. Сондай-ақ, пен тұрақты, ал -ті айнымалы деп алып,

функциясының нүктесіндегі бойынша алынған дербес туындысын анықтаймыз.

Берілген функциясының бойынша алынған нүктесіндегі дербес туындысы да осылай анықталады.

Дербес туындыны есептеуде бір айнымалды функциясының туындысын табу ережелері түгелдей қолданылады.

Егер тәуелсіз айнымалылардың , , мәніне өсімшелерін берсек, онда функциясы

(7.5)

өсімшесін алады. Берілген функцияның осы өсімшесін оның толық өсімшесі деп атайды.

Теорема 1 Егер , , дербес туындылар нүктесімен оның қандайда болмасын бір маңайында бар болып және осы нүктеде ( -тің функциясы ретінде) үзіліссіз болса, онда берілген функциясының толық өсімшесі мына түрде жазылады:

,

мұндағы шамалары өсімшелеріне тәуелді және -да -ларда 0-ге ұмтылатын ақырсыз аз шамалар.

Теорема 2 Егер Q аймағында анықталған функциясының осы аймақтағы мен нүктелері үшін толық өсімшесі

(7.6)

түрінде жазылатын болса (А,В,С-тұрақтылар, ), онда берілген функцияның нүктесінде дербес туындылары бар болады.

Анықтама Егер функциясының толық өсімшесі (5) немесе (6) формулаларының бірімен өрнектелетін болса, онда бұл функция нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады. Сонымен бірге, берілген функцияның толық өсімшесінің сызықты бас бөлімі оның толық дифференциалы деп аталады да, немесе деп белгіленеді.

Сонымен үзіліссіз дербес туындылары бар кез келген көп айнымалды функция дифференциалданады.

Тәуелсіз – айнымалыларының өсімшелері олардың дифференциалдары деп алынатынын ескерсек, функцияның толық дифференциалы немесе

түрінде жазылады. Яғни көп аргументті функцияның толық дифференциалы оның дербес дифференциалдарының қосындысына тең.

Мысал 4 Берілген функцияның толық дифференциалын табу керек.

Шешуі Бұл функцияның дербес туындыларын табайық. демек, .

Теорема 3 Егер функциясы Q аймағының кез келген нүктесінде дифференциалданса, ал функцияларының мәндері Q аймағында жатып айнымалысы бойынша дифференциалданатын болса, онда күрделі функция бойынша дифференциалданады және туындысы мына формула арқылы анықталады:

(7.7)