1 3.Ауыспалы таңбалы қатарлар. Лейбинц белгісі. Абсолют және шартты жинақтылық

14.Функциялық қатар туралы тусінік

Айталық қатардың мүшелері х-тен тәуелді болса, онда ол қатарды функциялық қатар дейді, яғни

Егер функциялық қатар аралығында әрбір х-тің мәнінде жинақты болса онда аралығын қатардың жинақтылау облысы дейді. Функциялық қатарлардың ішіндегі толық зерттелгені және тәжірибелік мәселелерде көп кездесетін дәрежелік қатарлар. Дәрежелік қатар деп төмендегі функциялық қатарды айтады. . Егер болса, онда бұл қатар мына түрге көшеді. .

Егер (11.6) дәрежелік қатар болғанда жинақталатын қатар, ал болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.

Жинақталу радиусын анықтау үшін келесі формулаларды қолданады және .

Мысал. дәрежелік қатардың жинақталу радиусы анықтау керек .

Шешімі : Мұнда , сондықтан . Жинақталу интервалы .

14А,с.Дәрежелік қатар және олардың қасеті Абель теорема

15.Тейлор және Маклорен қатарлары

7.Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер

Бернулли теңдеуі

.b)Лагранж әдісі.Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін практикада Лагранж (тұрақтыны вариациялау) әдісі қолдану ыңғайлы.

Алдымен берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімін табу керек. Алдында қарастырылғандай ол мына түрде жазылады:

Содан соң, C_i коэффициенттерін х-тің функциялары деп есептеп, біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табу керек:

C_i(x) функцияларын табу үшін келесі жүйені шешу керек:

2 ) Біртекті емес теңдеудің шешімі келесі түрде болады: Теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Жүйені шешейік: Енді В(х) функциясын табайық.

Табылған мәндерді біртекті емес теңдеудің шешімінің формуласына қоямыз:

Сӛйтіп, біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін дара шешімін таппастан жаздық.

7.c)Кейде біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеуді шешу үшін ^{y  uv} алмастыруын (Бернулли әдісін) қолданамыз, яғни шешімді белгісіз екі функцияның кӛбейтіндісі түрінде іздейміз. Мұнда, туындыны y'= u'v +uv' өрнегімен алмастырамыз.

_{y'+P(x)y= Q(x)y}ⁿ түріндегі дифференциалдық теңдеу Бернулли теңдеуі деп

аталады, мұндағы P(x),Q(x) - берілген үзіліссіз функциялар, n≠0, n≠1

Бернулли теңдеуінің сызықтық теңдеуден айырмашылығы оң жақ бӛлігінде у-тің белгілі бір дәрежесі бар, шешілуі сызықтық теңдеулердегідей жүргізіледі.

Шешімін табу үшін теңдеудің екі жағында _y ⁿ -ге бөлеміз:

y'/yⁿ+P(x)y/yⁿ=y'y^-n+P(x)y^1-n= Q(x) (2.1)

Алмастыру жасаймыз: z= y^1-n → z'=(1- n)y^-n y'

Шыққан мәнді (2.1) теңдікке қоямыз:

+P(x)z=Q(x)

- бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу.

Шыққан теңдеуді шеше отырып z-ті табамыз, z-тің табылған мәнін жасаған алмастыруымызға қойып, Бернулли теңдеуінің шешімін табамыз. Мысал

у'+2у=е ^х у ² - Бернулли теңдеуін шешу керек.

Шешуі + e^x → у'y^-2+2y^-1= e^x→ Z=y^-1→z^'=-y^-2у' → -z'+2z= e^x

z '-2z=- e^x немесе z '-2z=0-біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеу

=2z→ dz=2zdx→ =2dx→ = 2 →lnz=2x+lnc→ lnz=lne^2x+lnc→ lnz=lne^xc→z=ce^2x Енді тұрақты с-ны қандайда бір х-қа тәуелді функция деп аламыз,яғни c=t(x)→z=te^2x=(te^2x)'=t'e^2x+2te^2x→ z '-2z=- e^x → t'e^2x+2te^2x=-e^x→ t'e^2x=- e^x →

e^2x=-e→ e^2xdt=-t^xdx→dt=- dx→dt=-e^-xdx→ =-e^-xdx→t=e^-x+C₁

Z=( e^-x+c₁)e^2x= e^x+c₁e^2x→y^-1= e^x+C₁ e^2x→1/y= e^x+C₁e^2x→y= .