1.4. Обработка результатов косвенных измерений

1.4.А. Постановка задачи

Пусть в результате обработки результатов прямых измерений a, b, c получены их средние значения , а также их абсолютные погрешности Da, Db, Dc. Требуется найти наилучшее значение (наиболее близкое к истинному) величины А, связанной с измеряемыми величинами a, b, c функциональной зависимостью (расчетной формулой)

.

а также ее абсолютную и относительную погрешности.

Наиболее близкое к истинному значение величины А (его также называют средним значением) получается при подстановке в расчетную формулу средних значений измеряемой величины:

. (8)

На погрешность величины А влияют погрешности, связанные с измерением каждой из величин a, b, c. Обозначим через DА_а , DА_b , DA_c вклады в полную погрешность DА, связанные с погрешностями измерения величин a, b и c соответственно. Методы математической статистики дают следующую формулу для расчета абсолютной погрешности DА косвенно измеренной величины А:

. (9)

Расчет погрешности косвенных измерений можно осуществить различными способами.

1.4.Б. Метод приращения функции

Если в расчетную формулу подставить не , а значение, измененное на величину абсолютной погрешности , оставляя прежними остальные величины , то мы получим новое значение величины А, отличающееся от на величину DА_а:

. (10)

Видно, что DА_а, представляет собой приращение функции при приращении аргумента а на величину Da.

Аналогично можно вычислить и DА_b , DA_c:

,

.

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel

1.4.В. Метод частных производных

Приращение функции всегда можно выразить через приращение аргумента, используя определение частной производной. Частной производной функции называют производную этой функции по соответствующему аргументу, когда остальные аргументы считаются фиксированными. В данном случае под функцией понимается рассчитываемая величина А, а под независимыми переменными - измеряемые величины a, b, c. Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости выражение (10) можно переписать так:

; ; . (11)

Отметим, что производные , , рассчитываются при средних значениях .

Полная погрешность DА получается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):

. (12)

Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).

1.4.Г. Метод логарифмирования функции

Запишем относительную погрешность величины А:

.

С помощью формулы (12) она примет вид:

.

Учитывая, что , , , приходим к следующему выражению для относительной погрешности:

. (13)

После расчета относительной погрешности (в частях, а не в процентах) находится и абсолютная погрешность:

.

Данный метод применяется, если расчетная формула удобна для логарифмирования.

1.5. Сравнительная оценка погрешностей

Слагаемые в подкоренных выражениях формул (7), (9), (12), (13) могут быть разного порядка малости относительно А . Если величины слагаемых отличаются более, чем на порядок, то меньшими можно пренебречь.

Пусть в формуле (9) DА_а = 1, DА_b = 0,1, DА_c = 0,01. Тогда .

Лекция № 2.