10. Узагальнений метод найменших квадратів (умнк).

В ідомо, що всяка невироджена симетрична матриця може бути подана у вигляді

де - деяка невироджена ортогональна матриця (представлення (2) не єдине)

Т оді матриця може бути подана у вигляді

З ауважимо, що

Д омножимо перше рівняння (1) на :

П означимо:

Т оді (6) запишеться у вигляді:

( 8) задовольняє умовам КЛММР. Для цього досить перевірити, що :

Т ому, у відповідності з отриманими для КЛММР результатами, найкращою на класі всіх лінійних (відносно ) незміщених оцінок параметра буде оцінка

К оваріаційна матриця визначається формулою

О цінки (13), (14), виражені у вихідних спостереженнях, назвемо оцінками УМНК :

М НК мінімізує критерій

Т оді _МНК може бути визначена, як точка мінімуму узагальненого критерій

Т оді, визначаючи вибірковий коефіцієнт детермінації як долю загальної варіації , пояснену зміною функції регресії, дістанемо:

Для УЛММР:

а ) оцінка

є незміщеною оцінкою невідомого параметра моделі (8.1);

б) статистика є – розподіленою величиною з (n-p-1) степенями свободи, а оцінки і є статистично незалежними.

10. Тест Спірмана для перевірки гетероскедантичності моделі.

Схема тесту:

1. дані упорядковують у порядку зростання (одна з незалежних змінних) і записують ранг значення змінної для кожного спостереження (тобто нумерують впорядковані спостереження від 1 до -кількість спостережень).

2. застосовуючи МНК обчислюють залишки , знаходять і записують іхні ранги в порядку зростання

3. обчислюють величини , які рівні різниці рангів для та .

4. обчислюють коефіцієнт рангової кореляції Спірмена:

5. перевіряємо значимість отриманого коефіцієнта за -критерієм. Дляч цього будуємо статистику , яка є статистикою Студента за ступенями вільності.

6. По таблицях розподілу Студента, при заданому рівні значущості знаходимо значення

7. Якщо то гіпотезу (існує гомоскедантичність залишків) приймаємо, у противному випадку відкидаємо (тобто залишки є гетероскедантичні).

10. Тест Глейcера для перевірки гетероскедантичності моделі.

Схема тесту:

1. В даному випадку використовується регресія абсолютних величин залишків , по деякій функції від , де -це та пояснююча змінна, від якої гіпотетично залежить умовна дисперсія залишків .

2. На практиці розглядаються прості функції від , наприклад :

, (4)

3.Коефіцієнти знаходяться МНК.

Пояснення: з допомогою МНК знаходимо залишки . Тепер в формулі (4) в нас залежною змінною буде , а незалежною , в нашому випадку .

4.Розглядається гіпотеза .

5.Якщо гіпотезу приймаємо, то , тобто всі зали шишки однакові, тобто існує гомоскедангтичність, якщо відкидаємо, то існує гетероскедантичність. Тобто висновок про гомоскедантичність залишків приймається на основі перевірки гіпотези оцінок на їх статистично значиму відмінність від . Перевірку здійснюємо за допомогою - тесту.

6. По таблицях розподілу Студента, при заданому рівні значущості , знаходимо -критичне

7. Знаходимо - статистику для параметра : , з таблиці

8. Якщо , то гіпотезу приймаємо, у противному випадку відкидаємо.

9. У випадку відкидання гіпотези ми маємо деякі передумови для вибору форми параметризації матриці .

Оцінка ого діагонального елемента матриці має вигляд: , , тобто ,

Зауважимо, що регресія може будуватись не по одній пояснюючій змінній, а по декількох або по їх певній комбінації (наприклад, по ) .