18. Тура және кері торлардың параметрлерінің өзара байланысы

Кеңістіктік тор – кристалдағы атомдар (бөлшектердің) орналасуын сипаттайтайтын геометриялық бейне.  Ең азы параллелепипед, оны үш бағытта үзіліссіз параллель көшірулер жүргізу арқылы  барлық кеңістік торын  салуға болады, ол элементар ұяшық деп аталады.Үш негізгі вектор, элементар ұяшықтың қабырғалары болып табылатын трансляция немесе бірлік осьтер деп аталады. Трансляцияның абсолюттік өлшем бірлігі а, b, с периодтық торлар деп аталады. Тор периоды және үш қабырға арасындағы ұяшықтар бұрышы  (осьтік бұрыштар) міндетті түрде  элементар ұяшықтарды сипаттайды.Барлық кеңістік торларының әр алуандығын жеті жүйеге - сингонияларға бөледі [5, C.91-95], бұрыштар мен бірлік осьтердің 0өзара қатынасынан шыға: кубтық, гексагоналдық, тетрагоналдық, ромбоэдралық, ромбылық, моноклиндік, триклиндік.Элементтердің тәуелсіз үйлестірулердің саны тор симметриялары (кеңістік топтары) 230 құрастырады. Ұқсатылған элементтер симметриясының бар болуынан 230 кеңістік топтарын  32 нүктелік топтарға (симметрия кластарына) біріктіруге болады.Кері (полюстік) тор — бастапқы кеңістік тордың (100), (010), (001) координаталық торлары оларға нормаль координаталық осьтермен алмастырылған қосымша құрылыс. Кері тор кристаллографияның есептеу әдістерінде көп қолданылады. Жазықтықты әдетте (h, k,l) деп белгілейді.

Эквивалиентті жазықтар тобы {h, k,l}

кристаллдық тор бағыты  [h, k,l]

тор түйіні    x,y,z

[h, k,l] бағыты (h, k,l) –ға міндетті түрде перпендикуляр бола мермейді. Плоскости

Миллер индексі , бағыт және түйіні направления и узлы могут задаватьсятеріс бағытта берілуі мүмкін, мысалы,  (1,1,1)

Олар көптікке ие болады, мысалы  кубты  кристалл үшін {1, 0,0}

6 көптігіне ие:  

(0,0,1) (0,0,1)

(0,1,0) (0,1,0)

(1,0,0) (1,0,0)

Аналогиялы түрде тік кристалды тор жазық  (hkl) нүкте элементарлы ұяшықта анықтауы мүмкін, берілген векторда  a*, b* және  c*, мұндағы

Бұл анықтамадан:Тор қарапайым элементар векторлы трансяциялаудан құрылған a*, b* және  c*, бұл кері тор деп аталады  a*, b* және  c* кері векторлы тор.

Кез келген (hkl) жазықтықта перпендикуляр жүргіземіз, тік торлы түйінде (іі) бастапқы координат. Перпендикуляр бойымен 1/dhkl қашықтық нүктесін координат бойына апарамыз. Осылайша, кристаллографиялық  жазықта кері жазықтағы нүктеде берілуі мүмкін.

 Кері тордың векторы қасиеттері.              Кристаллдарды сипаттау үшін кері тор деген түсінік жиі пайдаланылады. Кері торды былай анықтаймыз:  А = т₁а₁ + т₂а₂ + т₃а – теңдеуімен берілген нүктелер жиынымен тура тор анықталса, оған сәйкес кері торды былай анықталады:

В=n₁b₁+ n₂b₂+n₃b₃                                                                  (2.1)

Мұндағы n₁, n₂, n₃ – бүтін сандар, ал b₁, b₂, b₃ – кері тордың негізгі векторы. Кері тордың негізгі векторының формуласы мынадай:

                                                 (2.2) 

b₂, b₃ – векторларын табу үшін индекстерін циклді ауыстыру керек. (2.2) – теңдеуінің бөліміндегі өрнек тура тордың V_a элементар көлемін көрсетеді. Егер тура тор тік бұрышты  немесе орторомбалық, тетрагонал, әлде куб формалы болса, онда: и                                       (2.3)

Кері тор анықтамасынан келесі маңызды қасиеттерді тұжырымдауға болады:

1)  а_ib_j=2_ij, мұндағы  _ij —Кронекердің дельта-символы:

_ij = 1 егер i= j  және   _ij = 0  егер  i j ;                                                             (2.4)

2) кері тордың элементар көлемі

                                        ;                                                       (2.5)

3) Кері торға кері тор, ол тура тор болады;

4) Тура тор мен кері тордың кез-келген векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай:AB=2n,                                                                  (2.6)мұндағы п — бүтін сан, яғни         ехр(i АВ) =1.                                             

Әрбір В кері тор векторына, оған перпендикуляр болатын, бір – бірінен  бірдей қашықта жатқан жазықтықтар жиыны сәйкес келеді. Кері тордағы жақын түйіндерді байналаныстыратын орталық сызыққа жақын перпендикуляр тұрғызамыз, одан кейін дәл сондай келесі жаұын сызықтар үшін және т.б. құрамыз.

Орталықта пайда болған квадрат қарапайым Вингер Зейтц ұяшығын үшін кері тор үшін көрсетілген, және оны Бриллюэнаның бірінші зонасы деп атайды. Центрден ары қозғала отырып шекаралық зона Бриллюэна  зонасымен қиылысады. Біз 2-ші, 3-ші, 4-ші және т.б. Бриллюэна зонасына түседі, олар көрініске жақындай түседі.

2-ші, 3-ші, 4-ші және т.б. сегменттерінде  Бриллюэн зонасын оңай көруге болады және ол 1-ші зонаға қарап проекттелген. Бұл проекттелу қарапайым векторлық кері торды трансяциялар көмегімен көрсетілген. Сонымен қатар, Бриллюэн зонасында барлығы бірдей ауданға ие болады (3 өлшемді көлем). Осылайша, барлық процесс Бриллюэн кеңейтілген зонасының схемасымен суреттелген  мысалы, А нүктесі Бриллюэн зонасындағы 1-ші процеске сәйкес келеді. Бриллюэн бірінші зонасы кері тордың қарапайым ұяшығы болып келеді. Барлық кристаллографиялық немесе ақпараттық құрылыс қарапайым ұяшықтан тік кристаллды торды құрайды және кристаллда  таралатын толқындар тербелісі қарапайым ұяшықта тұратыны  туралы ақпарат береді (Вингер-Зейтц), яғни Бриллюэн 1-ші зонасы.   Әрбір толқын сәйкесінше κ=2π/λ формуласы арқылы анықталады, сондықтан оны толқын вектор кеңістігі немесе k- кеңістігі деп атайды.