12. Кристалл симметриясының нүктелік топтары.

Обьектінің қандайда бір орын ауыстыруы кезінде өзіне-өзі дәл сәйкес келуін симметрия деп атаймыз. Орын ауыстырулар - симметрияның операциясы, ал оған сәйкес геометриялық образдар - симметрия элементтері деп аталады.

 Нүктелік симметрия. Кристалл тор симметриясының операциясы мен элементтерін зерттеуді нүктелік симметриядан  бастауға болады. Нүктелік симметрия операциясы деп объектінің кемінде бір нүктесі қозғалмайтын орын ауыстыруды айтамыз.

Нүктелік симметрия қарапайым және күрделі операция аталатын екі операциядан тұрады.Қарапайым нүктелік симметрия:1) N- дәрежелі ось бойымен айналу (11, а-сурет). Операция элементі - N-ші дәрежелі айналу осі. Мұндағы N бүтін сан - объектіні 2 бұрышқа бұру кезіндегі объектінің өзіне-өзі сәйкес келуі. Кристаллографияда дәлелденгендей, проекциялық симметрия кезінде кристалл тор үшін N = 1, 2, 3, 4, 6 мәндеріне ғана ие бола алады. 5-ші дәрежелі симметриялық құрылымы бар заттар мегаорнықсыз күйде болады және олар квазикристалдар деп аталады.

2) Жазықтықтан шашырау операциясы (1.1б – сурет) – симметрия элементінің – жазықтықтан айнала шағылуына сәйкес келеді. Халықаралық жүйеде ол m әрпімен таңбаланады. Егер жазықтық N-ші дәрежелі оське перпендикуляр болса, онда N/m, ал параллель болса, Nm таңбаларымен өрнектеледі. 3) 1.1 - суретте көрсетілгендей r- координат векторы  - r-ге ауыстырылса, симметрия инверсия деп аталады, симметрия элементі – инверсия центрі, ал халықаралық таңбасы I .Күрделі нүктелік симметрия операциялары:4) Бұрыла шағылу (1.1, г-сурет); сәйкес элементі – айналық бұрылу осі – таңбасы N/m.

5) Бұрылу инверсиясы (1.1, д-сурет); сәйкес элементі – инверсиялық ось – таңбасы N.  Нүктелік симметрия тобының 32 түрі бар. Нүктелік симметрия тобы жеті сингонияға тарайды. (1.1- кесте).

Трансляция. Шексіз объектілер үшін, соның бірі кристалдық тор үшін нүктелік симметрия операциясына трансляция (Т) қосылады: трансляция векторының тең кесіндіге ілгерілемелі орын ауыстыру кезінде кристалдық тор өзіне - өзі сәйкес келеді. Шексіз тор үшін трансляция саны шексіз. Ал (үш өлшемді торда) компланарлық үш вектордың ең қысқа ұзындығы – негізгі трансляциялық вектор деп аталады (1.2-сурет).  Трансляциялық операцияларды қоссақ, онда мынадай күрделі симметрия элементтері пайда болады:6) Сырғанай шағылу жазықтығы. Бұл симметрия операциясы жазықтығынан айналып шағылу және жазықтыққа параллель болатын трансляциядан  тұрады. (1, 3 в – сурет).

7) Бұрандалық ось. Бұл операция 2/N бұрышқа бұрылудан және  Тп/N трансляциядан тұрады.Мұндағы п - бүтін сан, шамасы N-нен кіші.      

1.2-сурет Негізгі трансляция векторы және олардың арасындағы бұрыштар.

1.3-сурет. Симметрияның кеңістіктік операциялары: а — трансляция (Г);  б — трансляциялы шағылу Т/2; в — трансляциялы бұрылуна Тп/М (М = 3, n = 2)Кеңістіктік симметрия топтары.гр. symmetrіa — мөлшерлес) — Жиі кездесетін математикалық ұғымдардың бірі, центрге немесе өс жазықтығын қатысты алғанда бірдей пішінді фигуралардың орналасуы. Симметрия түрі^[1]— кристалл көпжақтылардың симметрия элементтерінің мүмкін жиынтығы. Симметрия түрінің жалпы саны — 32. Бірінші рет симметрия элементтерінің жиынтығын 1830 жылы Гассел жасады. 1867 жылы Гадолин мүмкін болатын барлық кристаллографиялық топтарды және олардың белгілерін математикалық жолмен шығарып, симметрияның 32 түріне толық сипаттама берді.

Тип правильного многогранника	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Общее число вершин	Общее число рёбер	Общее число граней
Тетраэдр	3	3	4	6	4
Куб	4	3	8	12	6
Октаэдр	3	4	6	12	8
Додекаэдр	5	3	20	30	12
Икосаэ	3	5	12	30	20

Кристалл құрылымында барлық мүмкін болатын симметрия түрлендірулерінің терулері кеңістік симметрия тобы д.а. нүктелік симметрия тобы кристалдың сыртқы пішіні мен оның макроскопиялық қасиеттерінің симметриясын сипаттағандай кеңістік симметрия тобы кристалл құрылымының симметриясын сипаттайды.Әр нүктелік топқа бірнеше кеңістік топ сәйкес болады. Кристалдың кеңістік тобынан оның нүктелік тобын алу үшін ойша барлық трансляцияларды жою керек, яғни сырғанай шағылу жазықтықтарын қарапайым айналық жазықтыққа, ал бұрандалық осьтерді кәдімгі айналу осьтеріне айналдыру және қалған симметрия элементтерін бір нүктеге келтіру қажет.Нүктелік топтан оған қатысты барлық кеңістік топтарын қорыту күрделі мәселе. Бұл жағдайда барлық мүмкін симметрия элементтерінің терулері мен Бравэ торларын сұрыптау керек. Мысалы егер нүктелік топқа 3 және 2 осьтер кіретін болса, онда кеңістік топта бұл осьтер келесі түрде болуы мүмкін. 3,31,32,2,21 және барлық осьтер мен трансляциялардың терулерін қарастыру керек. Осы әдіспен кристалл кеңістігінің 230 кеңістік үздіксіз симметрия тобы немесе Федоров симметрия топтары алынады.Кеңістік топтарын белгілеу үшін халықаралық символдары, сондай-ақ Шенфлис символдары және Е.С.Федоров символдары қолданылады.Нүктелік топ символдары сияқты кеңістік топтың халықаралық символында тек тудырушы симметрия элементтері жазылады. Жазудың реті өте маңызды. Кеңістік топ символында бірінші орында әрқашан Бравэ торының символы тұрады. Әрі қарай тудырушы симметрия элементтері, әрқайсысы берілген орында.

13. Толқындар мен кристалдық тордың арасындағы әрекеттесу. ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ - раздел физики твёрдого тела, посвящённый изучению движений атомов в кристалле с учётом дискретности его структуры. Включает классич. и квантовую механику коллективных движений атомов в идеальном кристалле, динамику дефектовкристаллич. решётки, теорию взаимодействия кристалла с проникающим излучением, описание физ. механизмов пластичности и прочности кристаллич. тел.Колебания идеального кристалла. Частицы, составляющие кристалл (атомы, ионы или молекулы), под действием внеш. сил или в результате теплового движения могут смещаться относительно своих положений равновесия - узлов кристаллич. решётки. Наличие межатомного взаимодействия делает невозможными независимые смещения отд. атомов, и их коллективное движение приобретает характер колебат. процесса, распространяющегося в виде волн по кристаллу. Если смещения атомов малы, то силы межатомного взаимодействия оказываются пропорциональными смещениям и моделью колеблющегося кристалла может служить система частиц, связанных упругими пружинками. Предположение об упругом характере сил, удерживающих атомы в положении равновесия, наз. гармоническим приближением. Оно приводит к ур-ниям колебаний вида:

где n - радиус-вектор узла кристаллич. решётки, занятого атомом в равновесии,   - смещение атома из n-го узла, то - масса атома,   - матрица упругих коэффициентов (динамическая матрица кристалла, см. Модули упругости). Предполагается, что  , где а - межатомное расстояние (период решётки).

Собственными ф-циями ур-ния (1) являются нормальные колебания (моды) типа:

Здесь  - координата  -го кристаллич. узла,  - вектор поляризации, определяющий направление индивидуального движения атома, - квазиволновой вектор ( , где  - длина волны колебания),  - частота. В процессе нормальных колебаний все атомы кристалла колеблются около своих положений равновесия по гармонич. закону с одинаковой частотой  . Независимые колебания отличаются разл. векторами  , лежащими внутри первой Бриллюэна зоны, а также целочисленным параметром, определяющим ветвь закона дисперсии, связывающего величины  и  :

Здесь - число атомов в элементарной ячейке кристалла. Закон дисперсии (3) описывается периодич. ф-цией вектора   с периодами обратной решётки, равными по порядку величины  . Число мод равно числу степеней свободы всех частиц кристалла. В гармонич. приближении любое движение атомов кристалла может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний.

Рис. 1. Схема длинноволновых колебаний одномерного кристалла: а - акустические колебания; б - оптические колебания (а - период решётки).

Колебания кристалла с дефектами. На Д. к. р. существенно влияют дефекты решётки, изменяющие в ур-нии (1) массу m частицы (дефекты-примеси) и элементы матрицы   (точечные и протяжённые дефекты). Нормальные колебания реального кристалла с дефектами уже не являютсяплоскими волнами, как (2). Среди нормальных мод могут появиться колебания, полностью локализованные вблизи дефекта (локальные колебания). Им отвечают частоты, лежащие выше предельной частоты идеального кристалла или попадающие в запрещённые зоны (рис. 3). Если имеется много однотипных точечных дефектов, то локальное колебание на одном дефекте может "перескочить" на другой (как при резонансе слабо связанных маятников). В таком случае дефектный кристалл обладает примесной зоной частот колебаний.

Локальные колебания протяжённых дефектов (напр., дислокации или дефекта упаковки) распространяются вдоль них в виде волн, не проникающих в объём кристалла и отличающихся законом дисперсии от объёмных волн. Таковы колебания у свободной поверхности твёрдого тела (Рзлея волны).Наряду с локальными колебаниями могут существовать т. н. квазилокальные колебания, к-рые охватывают весь кристалл, но при к-рых амплитуда колебаний дефекта значительно превосходит амплитуду колебаний атомов в объёме. Частоты таких колебаний попадают в полосы частот идеального кристалла и обычно оказываются расположенными вблизи краёв этих полос. Плотность колебаний имеет узкий резонансный пик на квазилокальной частоте (рис. 3).Как локальные, так и квазилокальные колебания проявляются в возникновении дополнит. линий в спектрах поглощения ИК-излучения (см.Инфракрасная спектроскопия ),в особенностях упругого рассеяния нейтронов (см. Нейтронография)и мёссбауэровских спектров (см. Мёссбауэровская спектроскопия).

Взаимодействие с проникающим излучением. Динамич. взаимодействие кристалла с фотонами разной энергии (в т. ч. рентгеновскими и  -квантами), нейтронами или ускоренными заряж. частицами имеет разное проявление в зависимости от энергии и импульса, передаваемых кристаллу дроникающей частицей. Если эта энергия сравнима с   , а передаваемый импульс имеет порядок величины  , то происходит неупругий процесс рассеяния частицы, сопровождающийся рождением одного или неск. фононов. Изучение таких процессов позволяет определить закон дисперсии колеблющегося кристалла (рис. 2). Однако возможен процесс без отдачи, при к-ром энергия частицы сохраняется и в кристалле не происходит рождения фонона. Такие процессы (типа Мёссбауэра эффекта)характеризуются предельно узкими дифракционными линиями, и их доля измеряетсяДебая - Уоллера фактором.Если кинетич. энергия частицы велика, то она способна выбить атомы кристалла из равновесных положений, сообщая им значит. энергию и превращая их в движущиеся дефекты. Они, в свою очередь, создают вторичные смещения атомов и смещения более высоких порядков, в результате чего возникает каскад точечных дефектов. Однако существуют такие направления, параллельные атомным рядам и атомным плоскостям ("каналы"), вдоль к-рых быстрые заряж. частицы с длиной волны де Бройля, значительно меньшей а, движутся, практически не вызывая смещения атомов. Явление каналирования частиц различно для частиц разного знака зарядов (электронов и позитронов и т. п.).