38 Вигнер-Зейц ұяшығы мен Бриллюэн аумағы
Бриллюэн аймағы —- керi кеңiстiктегi Вигнер-Зейтцаның ұяшығының бейнесi. Қатты затты тордың периодты потенциалы үшiн Блохтың толқындық функциясы толқындардың жуықтауында Бриллюэнның бiрiншi аймағында оның мiнез-құлығымен толық суреттеледi.
Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решётки до соседних узлов. Альтернативное определение следующее: зона Бриллюэна — множество точек в обратном пространстве, которых можно достигнуть из данного узла, не пересекая ни одной брэгговской плоскости.
Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна. n-я зона Бриллюэна — это множество точек, которые можно достигнуть из данного узла, пересекая n-1брэгговскую плоскость.
Примеры
На рисунке справа показана первая зона Бриллюэна для кубической гранецентрированной решётки с характерными обозначениями точек в ней. Красным цветом выделен участок, повторением которого с учётом симметрии, можно заполнить всю зону. Характерные точки
Γ — в центре зоны Бриллюэна.
X — в середине малого квадрата. Линия, которая ведет от Γ к X обозначается буквой Δ.
L — в середине большого шестигранника. Линия, которая ведет от Γ к L обозначается Λ.
K — на середине стороны шестигранника. Линия, которая ведет от Γ к K обозначается Σ.
Для кубической объёмноцентрированной решётки решетки первая зона Бриллюэна представляет собой ромбододекаэдр
Характерные точки зоны Бриллюэна
Определённые точки высокой симметрии в зоне Бриллюэна получили специальные обозначения. Центр зоны Бриллюэна, то есть точка с нулевым значением квазиимпульса, обозначается греческой буквой Γ. Если электронные зоны в зонной структуре кристалла пронумерованы, то к букве добавляют индекс, который соответствует номеру зоны: Γ1, Γ2 и т.д.
Точки на краю зоны Бриллюэна обозначаются латинскими буквами (X, L и т. д.), А прямые, которые ведут к ним, греческими буквами (Δ, Λ и т. д.). Конкретные обозначения зависят от строения зоны Бриллюэна для даннойкристаллической решётки.
. БРИЛЛЮЭНА ЗОНА - ячейка обратной решетки кристалла, содержащая все трансляционно-неэквивалентные точки. Поскольку состояния квазичастиц твёрдого тела, в к-рых значения квазиимпульсов р отличаются на один из векторов трансляции обратной решётки, являются эквивалентными, то В. з. выделяет в пространстве квазиимпульсов области, включающие в себя все неэквивалентные значения квазиимпульсов р, характеризующих состояние квазичастиц.
Рис. 1. Первые Бриллюэна зоны: а - для одномерного кристалла (цифрами обозначены номера зон Бриллюэна); б - для плоской квадратной кристаллической решетки; в - для плоской квадратной решётки в схеме приведённых зон; г - первые три Бриллюэна Зоны для кубического гранецентрированного кристалла (приведены обозначения для некоторых точек первой зоны); д - первые три Бриллюэна зоны для кубического объёмноцентрированного кристалла; е - первая Бриллюэна зона для гексагонального плотно упакованного кристалла.
Структура Б. з. определяется только строением кристалла и не зависит от рода частиц, образующих кристалл, или от их межатомного взаимодействия. Обычно границы Б. з. определяют условием:
где b - вектор обратной решётки. При этом Б. з. представляют собой многогранники в обратном пространстве, границами к-рых являются плоскости, проходящие через середины прямых (перпендикулярно к ним), соединяющих точку начала отсчёта Г (b=0) с трансляционно-эквивалентными ей точками обратной решётки (рис. 1, а).
При таком построении участки одной и той же зоны оказываются отделёнными друг от друга (рис. 1, б). Этой особенности можно избежать при переходе к т. н. приведённой зоне - разл. участки одной Б. з. сдвигаются на векторы трансляции обратной решётки и зона оказывается односвязной (рис. 1, в). В результате "приведения" очевидно, что каждая зона совпадает с элементарной ячейкой обратной решётки (Вигнера -Зейтца ячейкой), т. е. фактически с первой Б. з. (объёмы всех Б. з. равны). Осн. интерес представляет, как правило, первая Б. з.- область обратного пространства, лежащая ближе к точке b=0, чем к любой другой трансляционно-эквивалентной ей точке в обратной решётке. Нек-рые точки Б. з. высокой симметрии имеют спец. обозначения. Так, напр., для первой Б. з. гранецентрированного кубического (ГЦК) кристалла (рис. 1, г) центр обозначается как Г, вершины - W, центр шестиугольной грани - L, центры квадратных граней - X и т. д. (рис. 1, д-е).
Еркін электрондарға жақындаған сайын электронньщ энергиясыньщ
толқыидық санынан (толқындық вектор модулінен) тәуелділігі
70.3-суретінде көрсетілген графикпен суреттеледі. Энергияның мәндері
бір ізді квазиүздіксіз болады. Демек, W(/：) -нің графигі дисіфетті нүкте-
лерден түрады. Алайда, бүл нүктелер өте жиі орналасқандықтан, біз ол
нүктелерге қарағанда, түтас қисыққа үласқанын көреміз.
Өріс периодты болған жагдайда, W 一 н ің k - дан тәуелділігі 70.4-
суретіндегідей болады. Суретке қараганда,түтас сызықтармен кескінделген
квазиүздіксіз өзгеретін энергияньщ зоналары (рұқсат етілген зоналар)
тиым салынған зоналармен алмасып отыратындығы көрінеді. Әрбір
рұқсат етілген зона жақын орналасқан дискретті деңгейлерден түрады.
Олардын, саны кристалл үлгідегі атомдар санына тең.
Қарастырылатын た-кеңістік аймағьшың ішінде, кристаддьщ элек-
трондарының энергиясыньщ квазиүздіксіз өзгеруін, Бриллюэна зонасы
дейді. Зона шекараларында энергия үзіліске үшырайды. 70.4-суреті
бір өлшемді кристалл болған жағдайдағы Бриллюэн зоналарын
бейнелейді. Үш өлшемді кристалдар үшін Бриллюэн зоналарының ше-
каралары түйық, көп қырлы бет болады. Олар бірінің ішіне бірі қама-
лады. \ү — нің тиісті мәні WF -ке тең болғанда, k — кеңістіктегі (немесе
р - кеңістіктегі) изоэлектрондық бетті Ферми беті деп атағанымыз-
ды еске салайық (68-ші параграфты қараңыз). Еркін электрондар жағ-
дайында бүл бет сфера түрінде болады. Металдың өткізгіштігінің электрондары
үшін бетінің пішіні кристалдық тордың қасиетінен тәуелді
және түрі күрделі, кейде таңқаларлық болады. Бірқатар металдар үшін
Ферми бетінің пішіні тәжірибе жүзінде өте улкен дәлдікпен анық-
талады.