Вариант 5

21. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Умно­жим на 15, при­ведём по­доб­ные сла­га­е­мые и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

 

 

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

 

 

Ответ:

22. Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше вре­ме­ни, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды боль­ше, чем на­ка­чать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за ми­ну­ту?

Ре­ше­ние.

Пусть за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся лит­ров воды. Тогда за ми­ну­ту вы­ка­чи­ва­ет­ся л воды. По усло­вию за­да­чи со­ста­вим урав­не­ние:

,

 

от­ку­да

 

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние

,

 

име­ю­щее корни: и . От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся 9 л воды. Ответ: 9.

23.При каком зна­че­нии пря­мая имеет с па­ра­бо­лой ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат дан­ную па­ра­бо­лу и пря­мую при най­ден­ном зна­че­нии .

Ре­ше­ние.

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

За­пи­шем усло­вие общей точки:

Пря­мая будет иметь с па­ра­бо­лой един­ствен­ную общую точку при усло­вии, что дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равен нулю:  от­ку­да  Под­ста­вив зна­че­ние па­ра­мет­ра в урав­не­ние, на­хо­дим

 

Ответ: (-2;0).

24.Ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а её пе­ри­метр равен 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию     с ос­но­ва­ни­я­ми     и   , пе­ри­метр ко­то­рой равен 52. Имеем

.

 

Пусть — вы­со­та тра­пе­ции. Тогда . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим . Зна­чит, пло­щадь тра­пе­ции равна .

Ответ: 156.

25.В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма;  ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Сле­до­ва­тель­но, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Таким об­ра­зом, в четырёхуголь­ни­ке BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, по­это­му BFDE — па­рал­ле­ло­грамм.

26. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны AC равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, . Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке имеем: Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник : сумма его углов равна 180°, по­это­му

 

 

По­сколь­ку кроме этого имеем:

 

 

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и равно сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, .

Точка от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трёх вер­шин тре­уголь­ни­ка, , сле­до­ва­тель­но, точка — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка . Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти

 

Ответ: 2.