Вариант 6

21.Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ше­ние.

Умно­жим на 6, при­ведём по­доб­ные сла­га­е­мые и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

 

 

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

 

 

Ответ:

22. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 3 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 9 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от ла­ге­ря от­плы­ли ту­ри­сты. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 3 км/ч, а ско­рость лодки — 9 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое они про­плы­ли туда и об­рат­но, со­став­ля­ет Учи­ты­вая, что они были на сто­ян­ке 3 часа и вер­ну­лись через 6 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

От­сю­да S = 12 км.

 

Ответ: 12 км.

23.Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; – 6), B( – 5; – 1), C(1; – 1). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так: Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­ту вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов и Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

 

 

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

 

 

Ответ: (−1; −9).

24. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 30, а диа­го­наль равна 14. Най­ди­те пло­щадь этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна   . Тогда дру­гая сто­ро­на равна   , а пло­щадь   . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

 

 

 

Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь равна 14,5.

Ответ: 14,5.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём СF = АM, BE = DK. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию сле­до­ва­тель­но:

 

 

 

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны: , Рас­смот­ри тре­уголь­ни­ки и , в этих тре­уголь­ни­ках , , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, . Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки и а сле­до­ва­тель­но равны от­рез­ки и Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

26. C 6 . Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 9 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей. — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но Углы и равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

 

 

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

 

Ответ: