Вариант 9
21.Упростите
выражение 
.
Решение.
Имеем:
.
Ответ: 3.
22.Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?
Решение.
Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.
Ответ: 2.
23.Постройте
график функций
и
определите, при каких значениях
прямая
имеет
с графиком одну общую точку.
Решение.
Разложим
числитель на множители:
.
При
исходная функция принимает
вид
,
её график — парабола, из
которой выколоты точки
(−3; 6) и (2; −4).
Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.
Вершина параболы имеет координаты (0,5; −6,25).
Поэтому = −6,25, = −4 или = 6.
Ответ: −6,25; −4; 6.
24.Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.
Найдите площадь трапеции.
Решение.
Трапеция равнобедренная, значит,
и
Тогда,
Ответ:
25.В параллелограмме KLMN точка Е — середина стороны LM. Известно, что EK = EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.
Треугольники
KLE
и MEN
равны по трём сторонам, значит,
углы KLE
и NME
равны. Так как их сумма равна 180°, то
углы равны 90°. Такой параллелограмм —
прямоугольник.
26.
Диагонали четырёхугольника
,
вершины которого
расположены на окружности,
пересекаются в точке
.
Известно, что 
= 72°, 
= 102°, 
= 110°. Найдите 
.
Решение.
Пусть
.
=
180° − 110° = 70°;
=
102° − x; 
+ 102° − x = 70°; x =
+
32°.
=
72°; 
;
= 72° − x; 2x = 104°, x=52°.
Ответ: 52°.
Вариант 10.
21.
Сократите дробь 
.
Решение.
Используем свойства степеней:
Ответ: 96.
22.Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?
Решение.
За первый час пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время 220 километров.
Ответ: 220 км.
23.
Известно, что парабола
проходит через точку 
и её вершина находится в
начале координат. Найдите
уравнение этой параболы
и вычислите, в каких точках
она пересекает прямую
.
Решение.
Уравнения
параболы, вершина которой
находится в начале
координат: 
.
Парабола проходит через
точку 
,
поэтому 
,
откуда 
.
Уравнение параболы: 
.
Абсциссы точек пересечения
с прямой
найдем из уравнения 
.
Ответ:
.
24. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Решение.
Пусть
—
данный четырёхугольник,
—
середина стороны
—
середина стороны
—
середина стороны
—
середина стороны
.
Проведём диагонали
и
и
отрезки
и
,
последовательно
соединяющие середины
сторон четырёхугольника. Тогда,
по свойству средней линии
треугольника, отрезки
и
параллельны
диагонали
и
равны её половине, а отрезки
и
параллельны
диагонали
и
равны её половине. Поэтому
—
параллелограмм. А так как,
по условию задачи, его диагонали
и
равны,
то
—
прямоугольник, и угол
—
прямой. Отсюда следует,
что и угол между диагоналями
и
тоже
прямой, и, следовательно,
площадь четырёхугольника
будет
равна половине произведения
его диагоналей, то есть
Ответ: 20.
25.Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что — середина основания .
Решение.
Треугольник
равнобедренный.
Поэтому
.
В равнобедренной трапеции
.
Отсюда
следует, что
.
Значит, треугольники
и
равны
по двум сторонам и углу между
ними. Следовательно,
.
26.Площадь
треугольника
равна
90. Биссектриса
пересекает
медиану
в
точке
,
при этом
:
= 2 : 1.
Найдите площаль четырёхугольнка
.
Решение.
Так
как BK- медиана, то треугольники
ABK и BKC - равновеликие. По
условию AD - биссектриса, то
Так
как BK - медиана, то AK : AC=1 : 2, таким
образом, AK : AB =1 : 4. Так как AD
биссектриса в треугольника
ABC и ABK, то
Так
как треугольники ABE и AEK имеют
общую высоту, то
.
Пусть
,
тогда
.
Имеем уравнение:
Таким
образом
,
а
Площади треугольников ADK и KDC равны так как AK=KC и они имеют общую высоту и сторону.
Так
как
,
то
Имеем:
Таким
образом,
Найдем
площадь искомой фигуры:
Ответ:
