Вариант 11.
21. Сократите дробь .
Решение.
Используем свойства степеней:
Ответ: 96.
22. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Решение.
Пусть x — количество вопросов теста через. Тогда получаем:
откуда находим x = 33 .
Ответ: 33
23.Постройте
график функции
и
определите, при каких значениях
построенный
график не будет иметь общих точек с
прямой
.
Решение.
Преобразуем
функцию:
при
и
.
График — прямая
без
двух точек
и
.
Прямая
не
будет иметь с построенной
прямой общих точек, если она будет
ей параллельна, т. е. при
,
и если она будет проходить через
выколотые точки. Через первую
из этих точек прямая
проходит,
если
,
а через вторую — если
.
Ответ:
24. В треугольнике угол равен 56°, угол равен 64°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
Угол треугольника равен = 180° − − = 60°. Радиус описанной окружности равен .
Ответ: 3.
25.
На
стороне АС
треугольника АВС
выбраны точки D
и E
так, что отрезки AD
и CE
равны (см. рисунок). Оказалось,
что отрезки BD
и BE
тоже равны. Докажите, что
треугольник АВС
— равнобедренный.
Решение.
Так
как по условию BD=BE, то треугольник
BDE является равнобедренным.
Пусть угол при основании этого
треугольника равен x,
тогда
Треугольники
BEC и BDA равны по двум сторонам и
углу между ними, поэтому AB=BC и
треугольник ABC - равнобедренный.
26.
В треугольнике
биссектриса
угла
делит
высоту, проведённую из вершины
,
в отношении
,
считая от точки
.
Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника
,
если
.
Решение.
Обозначим
высоту,
проведённую из вершины
.
Биссектриса, проведённая
из угла
,
делит высоту в отношении,
равному отношению
и
.
Значит
,
поэтому
.
По теореме синусов радиус
описанной около треугольника
окружности
равен 25,5.
Ответ: 25,5.
Вариант 12.
21.Решите
уравнение: 
Решение.
Перенесем все члены влево и применим формулу разности квадратов:
Другой способ. Раскроем скобки, пользуясь формулой квадрата разности:
Ответ: 1.
22.Найдите
целое число, если из двух следующих
утверждений верно только одно:
1)
;
2)
.
Решение.
Если
верно первое утверждение, то
верно и второе. Это противоречит
тому, что верно только одно из двух
данных утверждений.
Следовательно, верно второе
утверждение, а первое неверно.
Получаем, что
.
Этому неравенству удовлетворяет
единственное целое число:
.
Ответ: 34.
23.
Постройте график функции
и
определите, при каких значениях
прямая
не
будет иметь с построенным
графиком ни одной общей точки.
Решение.
Преобразуем
выражение:
при
.
Значит,
Построим
ветвь гиперболы
при
и
удалим точку
.
Затем построим вторую часть
графика симметрично
первой относительно оси
ординат.
На
рисунке видно, что прямая
не
имеет с построенным графиком
общих точек, если она горизонтальна,
либо проходит через одну из
удаленных точек
или
.
Этим случаям соответствуют
значения
и
.
Ответ:
.
24. Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь этого прямоугольника.
Решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна . Тогда другая сторона равна , а площадь . По теореме Пифагора:
Значит, искомая площадь равна 14,5.
Ответ: 14,5.
25.
Докажите, что у равных
треугольников
и
биссектрисы,
проведённые из вершины
и
,
равны.
Решение.
Пусть
и
—
биссектрисы треугольников
и
.
В треугольниках
и
соответственно
равны стороны
и
,
а также углы
и
,
и
.
Следовательно, треугольники
равны по второму признаку
равенства треугольников.
Значит,
,
что и требовалось доказать.
26.В
окружности с центром в точке
проведены
две хорды
и
.
Прямые
и
перпендикулярны
и пересекаются в точке
,
лежащей вне окружности. При
этом
.
Найдите
.
Решение.
Обозначим
радиус
окружности, точкой
середину
отрезка
,
а точкой
середину
отрезка
.
Поскольку треугольники
и
равнобедренные,
и
перпендикулярны
и
соответственно.
Отрезок
равен
.
Четырёхугольник
является
прямоугольником, поэтому
.
Из
прямоугольного треугольника
находим
.
Из
прямоугольного треугольника
находим
.
Из
прямоугольного треугольника
находим
.
Ответ: 29.