12. Системы линейных уравнений….. Теорема Кронекера – Капелли (без ни двух прямых; пересечение прямых.

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы   линейных уравнений с   неизвестными

 

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы,  .

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны  ( ), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны  ( , то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок   которого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из   уравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные   неизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом находим частные решения исходной системы уравнений.

 

Пример. Исследовать на совместность систему  .

 

Решение. Основная матрица системы    , ее определитель  ,  . Расширенная матрица системы  ,

 

,  . Получили что  , следовательно, система несовместна.

 

Ответ: Решений нет.

Пример. Исследовать систему и если она совместна решить ее

 

.

 

Решение. Расширенная матрица системы      .

 

 

⤇

Найдем определитель последней матрицы      Следовательно,  . Ранг расширенной матрицы также

 

равен 3, так как найденный определитель является минором матрицы  . Итак, система совместна. Для решения системы возьмем первое,

 

третье и пятое уравнения:  Решаем методом Крамера, находим  .

13. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Пример.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Найдите решение системы уравнений   методом Гаусса.

Коэффициент a₁₁ отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x₁ из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на  ,   и  :

Неизвестную переменную x₁ исключили, переходим к исключению x₂. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго

уравнения, умноженные соответственно на  и :

Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x₃ из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на :

Можно начинать обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения имеем  , из третьего уравнения получаем  , из второго  , из первого  .

Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.