24. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл.
Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения двух векторов a и bравен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
Sпарал = a × b]
Геометрический смысл векторного произведения.
Площадь треугольника построенного на векторах a иb равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
SΔ = |
1 |
|a × b| |
2 |
Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
25. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл.
Выясним
геометрический смысл смешанного
произведения векторов 
и 
.
Отложим векторы и от одной точки и построим параллелепипед на этих векторах как на сторонах.
Обозначим 
.
В этом случае смешанное произведение
можно записать как 
,
где 
- числовая
проекция вектора
на
направление вектора
.
Абсолютная
величина числовой проекции
равна
высоте параллелепипеда, построенного
на векторах
и
,
так как вектор
перпендикулярен
и вектору 
и
вектору 
по
определению векторного произведения.
А в разделе геометрический
смысл векторного произведения мы
выяснили, что величина 
представляет
собой площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Таким образом, модуль смешанного
произведения 
-
это произведение площади основания на
высоту параллелепипеда, построенного
на векторах
и
.
Следовательно, абсолютная
величина смешанного произведения
векторов представляет собой объем
параллелепипеда: 
.
В этом заключается геометрический смысл
смешанного произведения векторов.
Объем
тетраэдра, построенного на векторах
и
,
равен одной шестой объема соответствующего
параллелепипеда, таким образом, 
.
26. Система координат на плоскости. Связь между прямоугольными и полярными координатами.
Пусть M – произвольная точка плоскости, x, y –её прямоугольные координаты, а
ρ,φ –
полярные координаты (рисунок
ниже).
Тогда
Пример
1
Прямоугольные
координаты точки равны x=4, y=-4. Найти
её полярные координаты.
Решение.
Значит
так
как точка лежит в четвёртой четверти,
то первое значение правильно.
Главное
значение φ есть -π/4.
Пример
2
Определить
какую линию представляет
уравнение
Решение.
Переходя
к прямоугольной системе, находим
27. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Расстояние между двумя точками
где 
и 
радиус-векторы
точек 
и 
.
В координатах:
на
прямой 
на
плоскости 
в
пространстве 
Деление
отрезка в данном отношении 
В координатах:
на
прямой 
;
на
плоскости
,
;
в
пространстве
,
,
