16. Системы линейных однородных уравнений, условия совместности и методы решения.
17. Векторы. Основные понятия.
Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b . Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны. Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.
18. Векторы. Линейные операции над векторами. Примеры.
Сложение
векторов. Пусть 
и 
–
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку О и
построим вектор 
;
затем от точки А отложим
вектор 
.
Вектор 
,
соединяющий начало первого слагаемого
вектора с концом второго, называется суммой этих
векторов и обозначается 
Вычитание
векторов. Разностью 
векторов
и
называется
такой вектор 
,
который в сумме с вектором
дает
вектор
: 
.
Если векторы
и
привести
к общему началу, то разность представляет
собой отрезок, соединяющий их концы и
направленный от «вычитаемого» к
«уменьшаемому»
Умножение
вектора на число. Произведением вектора
на
действительное число 
называется
вектор
(обозначают 
),
определяемый следующими условиями:
1) 
,
2) 
при 
и 
при 
.
Очевидно,
что при 
.
Построим,
например, векторы 
и 
для
заданного вектора
19. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Условие линейной зависимости.
1.Линейной
комбинацией векторов 
называется
выражение вида:
,
где 
-
произвольные числа.
2.Линейная
комбинация
называется тривиальной,
если все коэффициенты
равны
нулю одновременно: 
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
3.Ненулевые
векторы
называются линейно
зависимыми,
если нетривиальная линейная комбинация
этих векторов равна нулевому
вектору: 
4. Ненулевые векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору.
Свойства линейно зависимых векторов:
Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Верно и обратное утверждение.
Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны. Верно и обратное.
Четыре произвольных вектора всегда линейно зависимы.
20. Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы.
Проекцией вектора a на вектор b называется число Prba=|a|cosφ, где φ=(aˆb) угол между векторами a и b, 0≤φ≤π.
Координаты X,Y,Z вектора a в
прямоугольном базисе совпадают с
проекциями вектора a на
базисные орты i,j,k соответственно,
а длина вектора a равна |a|=
Числа
cosα=cos(a ˆ,i) =X/
cosβ=cos(a ˆ,j) =Y /
cosγ=cos(a ˆ k) =Z /
называются направляющими косинусами вектора a.
Направляющие косинусы совпадают с координатами (проекциями) его орта a0=a|a|.