14. Системы линейных уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений ( с помощью обратной матрицы). Пример.

В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида  , которые в матричной форме записываются как  , где   - основная матрица системы,   - матрица-столбец неизвестных переменных,   - матрица свободных членов.

Сначала опишем суть матричного метода, остановимся на условии применимости этого метода, далее подробно разберем решения нескольких примеров.

Сразу оговоримся, что решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и решение СЛАУ с помощью обратной матрицы есть одно и то же. Поэтому рекомендуем освежить в памяти теорию раздела обратная матрица: определение, свойства, методы нахождения.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений   с помощью обратной матрицы.

Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме  . Вычислим определитель основной матрицы:

Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как  . Найдем обратную матрицу по формуле  :

Получим искомое решение:

15. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений. Пример.

Еще одним популярным методом решения системы линейных алгебраических уравнений является метод Крамера. Крамера, используя следующие формулы: для вычисления корней уравнений x_i (i=1,n)

x_i=Δⁱ_n/Δ_n (i=1,n),

где Δ_n=det A, а Δⁱ_n являются определителями n-го порядка, которые получаются из Δ_n путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Что бы закрепить теоретический материал, обратимся к практике, решим систему из трех уравненийметодом Крамера.

76x₁-7x₂-6x₃=-5

10x₁+12x₂-7x₃=11

-16x₁+10.5x₂-13x₃=-10

Определим совместность системы линейных уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы

A=	76 -7 -6 10 12 -7 -16 10.5 -13

и ранг расширенной матрицы

B=	76 -7 -6 -5 10 12 -7 11 -16 10.5 -13 -10

были равны. Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Согласно вышеприведенной формуле для метода Крамера, необходимо найти главный определитель и он будет равен

Δ=

76 -7 -6 10 12 -7 -16 10.5 -13

=-9746

Для вычисления X₁ найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.

Δ1=

-5 -7 -6 11 12 -7 -10 10.5 -13

=-2491.5

Точно как же как и для X₁ найдем определитель, для вычисления X₂

Δ2=

76 -5 -6 10 11 -7 -16 -10 -13

=-17854

Проделаем аналогичную операцию для вычисления следующего определителя для X₃

Δ3=

76 -7 -5 10 12 11 -16 10.5 -10

=-18851

В результате осталось разделить нужные определители на главный, в итоге получим : X₁=Δ₁/Δ ?0.256 X₂=Δ₂/Δ ?1.832 X₃=Δ₃/Δ ?1.934