14. Методика изучения функций в школьном курсе математики.

Значительная часть материала функциональной линии относит­ся к изучению класса функций, получивших название элементар­ных. К элементарным принадлежат целые функции, рациональные функции, степенные, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратные тригонометрические функции, а также различные их комбинации. Изучение конкретных функций полезно проводить по следующей методической схеме:

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту фор­мулу параметров.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

4. Использовать изученные свойства функций при решении за­дач, в частности уравнений и неравенств.

Функция вида у=ах+b называется линейной.

Понятие степенной функции дается в XI классе, только после изу­чения тем дифференциального и интегрального исчислений, пока­зательной и логарифмической функций. Поскольку производная уже известна, то исследование функции проводится по полной схеме.

Элементарные функции: целые, рациональные, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и их комбинации. В классе элементарных функций имеются две группы операций:

1) арифметические;

2) операции композиции и обращения функций.

Введение арифметических операций над числовыми функциями неявно. По существу происходит перенос действий из одной области в другую неосознанно. Решение заданий на сравнение значения и или аналогичных значений для других одноименных функциональных и числовых операций позволит осознать действие операций.

15. Методика изучения уравнений и не равенств в школьном курсе математики

Уравнения и неравенства и их системы представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разно­го рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математи­ческие модели.

Уравнение рассматривается как равенство значений двух функций. Два предложения называются равносильными, если из первого следует второе, а из второго следует первое. На понятии равносильности основан принцип решения урав­нений и неравенств.

Равносильность уравнений и неравенств. Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или они оба не имеют решений.

В настоящее время в школьном курсе математики никаких тео­рем о равносильности не доказывается, основной акцент делает­ся на раскрытие понятия равносильности. Виды уравнений и неравенств, рассматриваемые в школьном курсе математики, и методические особенности их изучения. Уравнения вида f(x) = g(x), где/(х) и g(x) - целые выражения Алгоритм решения уравнения вида f(x) = g(x) состоит в том, что, прибавим к обеим частям (-g(x)), получим уравнениеf(x)> - g(x) = 0 равносильное исходному.

Виды уравнений и неравенств: рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные.

Рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее "освобождение" от радикалов по формул.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании. log_a x = b.

Тригонометрические неравенства – это неравенства, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции