Электромагнитные волны в направляющих системах. Те, тм и тем волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.

Плоские однородные волны – простейший тип волнового процесса. При наличии границ возникают неоднородные плоские волны, распространяющиеся вдоль этих границ, т.е. возникают плоские направляемые волны. Это делает возможным передачу энергии на большие расстояния с минимальными потерями. Варианты конструктивного исполнения направляющих систем (линий передачи) приведены на рисунке.

симметричные линии несимметричные линии волноводы однопроводная линия

Будем считать эти системы продольно однородными (их свойства сохраняются в одном прямолинейном направлении, например, вдоль оси z). Свободные плоские гармонические волны, способные распространяться в направляющей системе, определяются из однородных уравнений Гельмгольца: ²Е + k²E = 0, ²H + k²H = 0. В отличие от плоской волны в неограниченном пространстве, в направляющих системах могут существовать неоднородные плоские волны, имеющие продольную составляющую поля Е_z или Н_z. Связь между продольными и поперечными составляющими поля определим, используя метод разделения переменных, т.е. полагая Е = Е_(x,y)exp(iz), H = H_(x,y)exp(iz). Здесь  – продольное волновое число, определяющее скорость распространения волны вдоль z. Для поперечных компонент поля имеем ²Е_+ (k²– ²) E_= 0, ²Н_+ (k²– ²) Н_= 0, где (k²– ²) = ^2 – поперечное волновое число, k² = ²,  и  – параметры среды, заполняющей линию передачи. Используя координатную запись однородных уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд Е и Н, имеем:

r ot H = iE + iH_y = iE_x iE_x+ = iH_y решая относительно Е_x и Н_y, а затем

rot E = –iH + iE_y = –iH_x iH_x + = – iE_y относительно Е_y и Н_x , получаем систему уравнений, связывающих поперечные и продольные составляющие поля:

полагая E_┴ = x_oE_x+ y_oE_y и H_┴ = x_oH_x+ y_oH_y ,

в векторной форме имеем:

, т.о., для нахождения структуры поля достаточно решить ²Е_z+ ² E_z = 0 и ²H_z+ ² H_z = 0. В зависимости от структуры поля направляемые волны делятся на

поперечные – ТЕМ или Т волны (отсутствуют продольные составляющие поля),

электрические – ТМ или Е волны (имеется продольная составляющая электрического поля),

магнитные – ТЕ или Н волны (имеется продольная составляющая магнитного поля),

гибридные – ЕН волны (имеется продольные составляющие электрического и магнитного поля).

Критическая частота: для волн Е и Н типа из ^2 = (k²– ²) следует, что является вещественной величиной, если   k, в этом случае Е  exp(–iz), т.е. амплитуда волны, распространяющейся вдоль z остается постоянной и меняется только фаза. Если  > k, то  – мнимая величина, следовательно, постоянной остается фаза и по экспоненте убывает амплитуда. При = 0 имеем: ^ = k = 2f_кр , где f_кр= ^ /2 – критическая частота, которой соответствует критическая длина волны _кр=2/^. Таким образом, длина _{волны в направляющей системе , фазовая скорость vф = , и переда}ча энергии по волноводным линиям (трубам) возможна только при f >f_кр.

Для ТЕМ волн (Е_z =0 и Н_z = 0) ^2= 0, следовательно,  = k и f_кр= 0, т.е. передача энергии возможна на всех частотах, включая нулевую (постоянный ток).

Волновое сопротивление линий передачи определяется исходя из следующих соображений:

используя систему уравнений, связывающих продольные и поперечные составляющие поля, получаем

для Е(ТМ) волн (Н_z=0): , , откуда , т.е. , где Z₀= – волновое сопротивление среды, заполняющей линию передачи.

Для Н(ТЕ) волн (Е_z=0): , , откуда , т.е.

. Для ТЕМ волн (Н_z=Е_z=0, =k) имеем: , откуда . Поскольку ТЕМ волны могут существовать только в двухпроводных линиях, если расстояние между проводниками << , под волновым сопротивлением двухпроводной линии передачи принято понимать Z_л=U/I в режиме бегущей волны , где – напряжение между проводами линии на расстоянии D, – ток вдоль проводника (Р–– периметр провода, J – поверхностная плотность тока). Характеристическое сопротивление двухпроводной линии передачи (которое часто называют волновым сопротивлением) может быть выражено через погонные индуктивность L` и емкость C` линии: . Например, для коаксиальной линии , если D и d – диаметр внешнего и внутреннего проводов соответственно.

Плотность потока мощности, переносимой по линии передачи П_z=0.5(z_o[EH^]=0.5(E_[H_z_o]. Учитывая , имеем . Мощность, переносимая через поперечное сечение линии передачи S, определяется выражением . Максимальная мощность, передаваемая по линии передачи, ограничена максимальной амплитудой напряженности электрического поля, при которой происходит электрический пробой среды, заполняющей линию передачи (для воздуха Е_мах=30кВ/см).

Литература.

1. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. - М.: Сов. радио, 1971.

2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. Наука, 1989.

Приближение геометрической оптики. Уравнение эйконала. Световые лучи. Область применимости лучевого приближения. Принцип Ферма. Рефракция.

В среде без потерь амплитуда и скорость волны являются функциями координат, поэтому описание свободных волн в изотропной среде при   0 (k  ) может быть сведено к ряду геометрических закономерностей. Любая из компонент электромагнитного поля в неоднородной среде подчиняется волновому уравнению ²Et²v²(x,y,z)²E=0 или уравнению Гельмгольца ²E₀v²(x,y,z)²E₀=0 (для монохроматических волн). Учтем, что v=c/n, где c =1/ – скорость волны в вакууме, n(x,y,z)= – показатель преломления среды. Тогда уравнение Гельмгольца можно записать в виде ²E₀ + n² k₀²E₀ = 0, где k=nk₀ (k₀ = ). Ищем решение в виде Е₀=A(x,y,z)e^-ikL(x,y,z).Подставив в уравнение, имеем k_о²A{n²–|L|²}–ik_о{2(A)(L)+A²L}+²A=0. (1) При k_о имеем |grad L|² = n² , или grad L = (2). – нормаль к поверхности равных фаз; L(x,y,z) = const – решение, которое для любого n(x,y,z) представляет собой поверхность равных фаз и называется эйконал , а уравнение (2) – уравнением эйконала. Это уравнение – основа геометрической оптики. Можно записать в виде производной по направлению: , т.о. . Функция grad L приводит к понятию луча. Луч - линия, касательная к которой совпадает с направлением grad L. Лучи - кривые, ортогональные к поверхности равных фаз (волновому фронту), определяемой из уравнения L(x,y,z) = const.