Уравнения геометрической оптики для электромагнитных волн

Полагая E=E₀(r)e^-ikoL(r) , H=H₀(r)e^-ikoL(r) и используя векторное тождество rot(,a)= rota+[grad,a], запишем ур-я Максвелла в виде: , при k   и обозначив e = , h = , имеем: |h, gradL| = en, |e, gradL| = –hn – уравнения геометрической оптики (УГО), т.е. уравнения Максвелла для очень высоких частот. Условия совместимости этих ур-ий: подставим h из 2-го в 1-е и учтем, что egradL ,

тогда (gradL(x,y,z))² = n²(x,y,z) – ур-е эйконала, которое является условием разрешимости УГО.

Для среды без потерь, где n и L – вещественные функции, вводя единичный вектор s= , параллельный gradL, получаем gradL=ns, подставляя в УГО и сократив на n, имеем [h, s]=e; [e, s]=–h, т.е. e, h и s образуют правую тройку, значит проекции e и h на s отсутствуют (поле поперечное). Поскольку (ee^*)=(hh^*), то |E|²=|H|², откуда , т.е. поле в точке наблюдения представляет локально плоскую волну. Поток мощности П= [EH^*]= [eh^*]= (ee^*)s= (hh^*)s, т.е. энергия переносится вдоль s (вдоль лучей).

Поверхность равных фаз определяет равенство L = const , т.е. из ур-я эйконала надо найти L(x,y,z) при заданном n(x,y,z). Пусть имеются две эквифазные поверхности ₁ и ₂ на расстоянии r друг от друга. Мощности, переносимые через площадки ds₁ и ds₂ равны dP₁= П₁ds = |e₁|²ds₁, dP₂= П₂ds= |e₂|²ds₂. В геом. оптике предполагается гипотеза о сохранении энергии вдоль лучевой трубки (нет обмена энергии между соседними лучевыми трубками) т.е. dP₁= dP₂ , откуда |e₁|²ds₁= |e₂|²ds₂ (3). Т.о. зная |e₁| или |h₁| можно найти |e₂| или |h₂|. Пусть главные радиусы кривизны площадки ds₁ равны ₁ и ₂, тогда в однородной среде для ds₂ имеем ₁+r и ₂+r, следовательно ds₁/ds₂ = ₁ ₂/(₁+ r)( ₂+r). Из (3) имеем |e₁|²/|e₂|² = (₁+ r)( ₂+r)_/₁ ₂. Т.о. из УГО можно получить информацию о характере поля, форме лучей, изменении интенсивности вдоль лучей. Сведений об абсолютном значении и ориентации E и H получить нельзя.

Условия применимости геометрической оптики

Рассмотрим условия, при выполнении которых можно пренебречь вторым и третьим слагаемыми в (1).

1) k_oAn²  2(A)( L)  k_oAn >>(A) (т.к. |L| = n), или | |<< |A| n / , т.е. изменение амплитуды на длине волны должно быть много меньше величины самой амплитуды.

2) k_on²  ²L  2-я производная связана с кривизной ПРФ. Для плоской кривой L=f(x) радиус кривизны

, полагая , имеем , т.е. радиус кривизны волнового фронта должен быть>>. С другой стороны, |²L|=|(L)|=|n|, т.е. , следовательно

изменение n на длине волны должно быть << величины n.

3) k_o²A²  ²A – это условие связано с кривизной поверхности равных амплитуд _А и может быть записано в виде 2n_A/ >>/2nA², т.е. радиус кривизны ПРА, отнесенный к , должен быть >> . Чтобы пренебречь дифракционными явлениями размер фронта волны D должен быть >> /n. Эти условия не выполняются в точках, где пересекаются лучи (фокус оптических систем); в средах с резкими неоднородностями; в мутных средах; при прохождении поверхностей с поглощающими экранами и т.д.

В неоднородной среде луч, соединяющий две точки р₁ и р₂, является кривой линией. Для каждой точки луча имеем: dL= (grad Ldr)=| grad L||dr|=k₀n(r)dl, где dr направлен по лучу, dl – элемент длины пути. Изменение фазы вдоль луча равно . Принцип Ферма утверждает, что интеграл вдоль луча имеет стационарное значение, т.е. первая вариация L относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Учитывая, что dl/v = dt и n(r)=c/v(r), где dt – время прохождения пути dl со скоростью v, с – скорость света в вакууме, имеем = , где интеграл дает время, затрачиваемое светом на прохождение пути от р₁ до р₂. Это позволяет сформулировать принцип Ферма следующим образом: лучом, соединяющим две точки является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое на его прохождение. Ферма в 1657г. сформулировал его следующим образом «Природа всегда следует наикратчайшему пути». Однако таких путей может быть много, например, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).

В однородной среде луч – прямая линия. При переходе границы раздела между двумя различными средами луч меняет направление. Соединим лучом точку р₁(0,у₁) в среде с показателем преломления n₁ с точкой р₂(а,у₂) в среде с показателем преломления n₂. Луч пересекает границу раздела в точке (х,0). Полное время распространения света от р₁ до р₂ равно t = . Используя условие стационарности , получаем: . Учитывая, что , , где  – угол между направлением луча и нормалью к границе раздела, имеем: n₁sin₁ = n₂sin₂ – закон преломления.

В плоскослоистой среде луч искривляется. Это явление называется рефракция. Радиус кривизны луча  для плоскослоистой среды определяется следующим образом: согласно рисунку =ab/d. Из закона преломления имеем: nsin= =(n+dn)sin(+d) nsin +ncos d +sin dh. Отсюда ncos d = = – sindh. Из подобия треугольников abc и Оab находим . _{Таким образом,} .

Для нормального состояния атмосферы и радиус кривизны луча в радиодиапазоне _рад25000км, в оптическом диапазоне – _оп50000км. При расчете радиотрасс считается, что луч распространяется по прямой, =90^о, но радиус Земли принимается равным , где а_з – радиус Земли, равный 6370 км. Для нормальной атмосферы и а_экв= 8500 км, т.е. расстояние прямой видимости увеличивается приблизительно на 15%.

В зависимости от состояния атмосферы различают следующие типы рефракции:

а) – отрицательная (луч отклоняется от Земли), а_экв< а_з.

б) – рефракция отсутствует (луч остается прямым), а_экв= а_з .

в) – положительная (луч отклоняется к Земле), а_экв> а_з.

г) _{– критическая (луч параллелен поверхности Земли), аэкв .}

д) _{– сверхкритическая ( луч возвращается к Земле), аэкв < 0.}

Литература

1. Матвеев А. Н. Оптика.- М.: Высш. школа, 1985.

2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. Наука, 1989.

18