39 Интегрирование лоду 2-ог порядка с постоянными коэффициентами. Случай двух разных действительных корней характеристического уравнения.
Линейным
однородным дифференциальным уравнением
(ЛОДУ) второго порядка называется
уравнение вида
.
Уравнение вида (3.4) p и q (постоянные) называется ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Будем
искать частные решения уравнения (3.4) в
виде y=
k-некоторое
число. Дифференцируя эту функцию два
раза и подставляя выражения для y,
y'', y' в уравнение (3.4),получим:
y'=
,
y''=
→
+pk
+q
=0;
(
+pk+q)=0;
+pk+q=0
Уравнение
+pk+q=0
называется характеристическим для ДУ
Для составления характеристического уравнения в уравнении(3.4) заменяют:
y''→ , y'→k , y→1
Вид общего решения этого уравнения определяется корнями характеристического уравнения k1 и k2
Если
характеристическое уравнение
имеет
два различных
действительных корня
,
(т.е.,
если дискриминант
),
то общее решение однородного уравнения
выглядит так:
,
где
–
константы.
В
случае если один из корней равен нулю,
решение очевидным образом упрощается;
пусть, например,
,
тогда общее решение:
.
40 Интегрирование лоду 2-ог порядка с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней.
Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка называется уравнение вида .
Уравнение вида (3.4) p и q (постоянные) называется ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Будем искать частные решения уравнения (3.4) в виде y= k-некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для y, y'', y' в уравнение (3.4),получим:
y'= , y''= → +pk +q =0; ( +pk+q)=0; +pk+q=0
Уравнение +pk+q=0 называется характеристическим для ДУ
Для составления характеристического уравнения в уравнении(3.4) заменяют:
y''→ , y'→k , y→1
Вид общего решения этого уравнения определяется корнями характеристического уравнения k1 и k2
Если
характеристическое уравнение
имеет
два кратных
(совпавших) действительных корня
(дискриминант
),
то общее решение однородного уравнения
принимает вид:
,где
–константы.
Вместо
в
формуле можно было нарисовать
,
корни всё равно одинаковы.
Если
оба корня равны нулю
,
то общее решение опять же упрощается:
.
41 Интегрирование лоду 2-ог порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней.
Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка называется уравнение вида .
Уравнение вида (3.4) p и q (постоянные) называется ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Будем искать частные решения уравнения (3.4) в виде y= k-некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для y, y'', y' в уравнение (3.4),получим:
y'= , y''= → +pk +q =0; ( +pk+q)=0; +pk+q=0
Уравнение +pk+q=0 называется характеристическим для ДУ
Для составления характеристического уравнения в уравнении(3.4) заменяют:
y''→ , y'→k , y→1
Вид общего решения этого уравнения определяется корнями характеристического уравнения k1 и k2
Если
характеристическое уравнение
имеет
сопряженные
комплексные корни
,
(дискриминант
),
то общее решение однородного уравнения
принимает вид:
,
где
–
константы.
Примечание:
Сопряженные комплексные корни почти
всегда записывают кратко следующим
образом:
Если
получаются чисто
мнимые
сопряженные комплексные корни:
,
то общее решение упрощается:
