26. Вычисление объёмов с помощью определённого интеграла

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная знакопостоянная функция y=f(x).

Необходимо найти объём V_OX тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиям y=f(x), y=0, x=a, x=b

Для решения задачи надо применить подход, что и при нахождении площади криволинейной трапеции.

Разобьём отрезок [a; b] на элементарные отрезки точками: х₀ = а, х₁, … . х_n = b на каждом из отрезков разбиения [x_i-1; x_i], некоторым образом выберем точку c_i.

Тогда некоторое приближение для искомого объёма даст следующую сумму , i-е слагаемое – объём цилиндра с высотой x_i - x_i-1 = и радиусом основания f=(с_i).

Очевидно, что приближение для искомого объёма будет тем лучше, чем меньше длина отрезка разбиения, поэтому за искомый объём V_OX естественно взять предел

Но выражения, стоящие в правой части есть предел интегральной суммы для функции y=f²(x), поэтому получаем . По этой формуле находим объём тела вращения.

Объём тела вращения вокруг оси OY: Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная знакопостоянная функция x=g(y).

Необходимо найти объём V_OY тела, образованного при вращении вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=g(y), x=0, y=c, y=d.

Объём тела вращения вокруг оси OY: .

27. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (ни-1)

Определённый интеграл , где промежуток интегрирования [a; b] конечный, а подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на [a; b] называется собственным интегралом.

Несобственные интегралы – определённые интегралы от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нём бесконечный разрыв.

Пусть f(x) непрерывна на [a; +). Если существует конечный предел , то его называют НИ-1 и обозначают . Т.о., по определению . Если предел в правой части этого равенства существует, то говорят, что НИ сходится, если не существует – расходится.

Аналогично определяется НИ на (-; b]: . Если f(x)0 непрерывна на [a; +) и сходится, то он выражает площадь бесконечно криволинейной трапеции.

НИ с двумя бесконечными пределами определяется формулой: , где с – число.

В этом случае интеграл слева сходится, когда сходятся оба интеграла справа.

Признаки сходимости НИ-1:

Теорема 1 (признак сравнения). Если на [a; +) непрерывные функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0  f(x)  g(x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла и наоборот.

Теорема 2. Если существует , 0k+, f(x)0, g(x)0, то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково).

28. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определённый интеграл , где промежуток интегрирования [a; b] конечный, а подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на [a; b] называется собственным интегралом.

Несобственные интегралы – определённые интегралы от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нём бесконечный разрыв.

Пусть y=f(x) непрерывна на [a; b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют НИ-2 и обозначают .

Если предел в правой части этого равенства существует, то НИ сходится, если не существует – расходится.

Аналогично, если y=f(x) терпит бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают .

Если y=f(x) терпит разрыв во внутренней точке с [a; b], то НИ-2 определяется формулой: . В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба НИ справа сходятся.

Когда f(x)0, НИ-2 (разрыв в x=b) истолковывают как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Признаки сходимости НИ-2:

Теорема 3 (признак сравнения). Пусть на [a; b) f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0f(x)g(x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла . Так же и расходимость.

Теорема 4. Пусть на [a; b) f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв. Если существует , 0k+, то и одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково).