19. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть ф-ия у=f(x) интегрируема на отрезке [a;b].

Теорема 1.2. если ф-ия у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и F(x)- какая-либо ее первообразная на отрезке [a;b], то имеет место формула: = F(b) – F(a)

Это равенство наз-ся формулой Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной ф-ии на заданном отрезке следует найти ее первообразную ф-ию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка: = F(x) = F(b) – F(a). Их метод применяется во всех случаях, когда может быть найдена первообразная ф-ии F(x) для подынтегральной ф-ии f(x).

20. Основные св-ва определенного интеграла.

Св-ва определенного интеграла непосредственно вытекающие из его определения.

1.определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: = , т.к. интегральная сумма, а следовательно и ее предел не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной ф-ии.

2.определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: = 0

3.для любого действительного числа с: = с (b−a)

4. если с постоянное число и ф-ия y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то: = , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Доказательство: составим интегральную сумму для ф-ии сf(x). Имеем: =с . Тогда = =

5. если ф-ии интегрируемы на отрезке [a;b], тогда интегрируема их сумма: = + , т.е. интеграл от суммы равен сумме интегралов. Данное св-во распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

6. =

Это св-во следует из формулы Ньютона-Лейбница: = F(b) – F(a) = − (F(b) – F(a)) =

7.если ф-ия f(x) интегрируема на отрезке [a;b] и a<c<b, то: = +

Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-т аддитивностью определенного интеграла. Справедливость этого св-ва следует из геометрического смысла определенного интеграла.

8. «Теорема о среднем» если ф-ия f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка с ϵ [a;b], такая что = f(c)(b-a). Доказательство: по формуле Ньютона-Лейбница имеем: = F(b) – F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b) – F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении ф-ии) получим:

F(b) – F(a) = F'(x) (b-a)= f(c) (b-a)

9. если ф-ия f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл имеет тот же знак, что и ф-ия: f(x)≥0,xϵ[a;b] ⇒ ≥0

10. неравенство между непрерывными ф-ми на отрезке [a;b] можно интегрировать. Так, если , хϵ[a;b], то ≤ . Отметим, что дифф-ть неравенство нельзя.

11. оценка интеграла: если m и M– соответственно наименьшая и наибольшая ф-ии у=f(x) на отрезке [a;b], то m(b−a)≤ ≤M(b−a).

12. модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной ф-ии:

│ │≤ , a<b

21. Оценки интеграла. Теорема о среднем значении функции на отрезке.

«Теорема о среднем»: если ф-ия f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка с ϵ [a;b], такая что = f(c)(b-a). Доказательство: по формуле Ньютона-Лейбница имеем: = F(b) – F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b) – F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении ф-ии) получим:

F(b) – F(a) = F'(x) (b-a)= f(c) (b-a)

Геометрический смысл теоремы о среднем. При f(x)≥0 значение определенного интеграла равно, при некотором с ϵ (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием (b-a):

Число f(c)= наз-ся среднем значением ф-ии f(x) на отрезке [a;b].

Оценка интеграла: если m и M– соответственно наименьшая и наибольшая ф-ии у=f(x) на отрезке [a;b], то m(b−a)≤ ≤M(b−a).

Геометрический смысл св-ва оценки интеграла.

Если f(x)≥0, то это св-во имеет следующий геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основания на которых есть [a;b],

а высоты равны m и M.