5. Необходимое и достаточное условие существования локального экстремума фнп

Если в точке дифференцируемая функция z=f(x;y) имеет локальный экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю: =0,

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z=0 называется стационарной точкой функции.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частной производной является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума:

Пусть в стационарной точке и некоторой её окрестности функция z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков. Вычислим в этой точке значения частных производных второго порядка.

, ,

Обозначим Тогда:

1) если то функция в точке имеет локальный экстремум, а именно:

1. — точка локального максимума, если <0

2. — точка локального минимума, если >0

2) если , то функция в точке не имеет экстремума.

4. Дифференцирование неявных фнп

Функция называется неявной, если она задается уравнением F(x;y;z)=0

Частные производные данной функции могут быть найдены по формулам:

Неявная функция одной переменной задается уравнением F(x;y)=0

Производная неявной функции находится по формуле

3. Дифференциал фнп

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М(x;y) составим полное приращение функции в точке М:

Функция называется дифференцируемой в точке М, если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

Сумма первых дух членов слагаемых в этом равенстве представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции z=f(x;y) линейная относительно называется полным дифференциалом этой функции и обозначается: Выражение называют частными дифференциалами. Для независимых переменных x u y полагают . Поэтому равенство (1.1) можно переписать в виде

Необходимое условие диф-ости ф-ции. Если ф-ция z=f(x;y) диф-ема в точке М, то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные причем Тогда формула полного дифференциала имеет вид: . Для функции произвольного числа переменных формула (1.1) принимает вид

Для приближенных вычислений используют формулу

6. Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.

Опр. Ф–ция F(x) называется первообразной для ф–ции f(x) на промежутке (а;b), если для любого х из этого промежутка выполняется равенство: F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx

Опр. Совокупность всех первообразных F(x)+C (С – const) для ф–ции f(x) называется неопределённым интегралом от ф–ции f(x) и обозначается , f(x)–подинтегральная ф–ция, f(x)dx–подинтегральное выражение, x– переменная интегрирования

Операция нахождения неопределённого интеграла для данной ф–ции называется интегрированием этой ф–ции.

Основные св–ва неопределённого интеграла

1)Дифференциал от неопр.инт. = подынтегральному выражению

Док–во: 2) Производная неопр.инт. = подынтегральной функции _{Доказательство: . Таким образом, правильность интегрирования проверяется дифференцированием.}

_{3) Неопр}.инт. от дифф-ла некоторой ф-ции равен сумме этой ф-ции и произвольной постоянной

_Док-во:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак

Доказательство:

5) Неопред.инт. от алгебраической суммы конечного числа непрерывных ф-ций равен алгебраич. Сумме интегралов от слагаемых ф-ций:

6) Если f(x) – первообразная ф-ции f(x), то

Доказательство:

7) Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой функцией этой переменной, если: , то , где -- дифференц.функция. Данное свойство называется инвариантностью НИ.