Закон Био – Савара – Лапласа для элемента тока. Магнитное поле в центре кругового тока (вывод). Для тока, текущего по контуру (тонкому проводнику)
Пусть
постоянный ток
течёт
по контуру (проводнику)
,
находящемуся в вакууме,
—
точка, в которой ищется (наблюдается)
поле, тогда индукция
магнитного поля в этой точке выражается
интегралом (в Международной
системе единиц (СИ))
где
квадратными скобками обозначено
векторное
произведение,
—
положение точек контура
,
—
вектор элемента контура (ток течет вдоль
него);
—
магнитная
постоянная;
—
единичный вектор, направленный от
элемента контура к точке наблюдения.
В принципе контур может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).
В случае простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).
Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:
где
—
вектор, описывающий кривую проводника
с током
,
—
модуль
,
—
вектор магнитной индукции, создаваемый
элементом проводника
.
Направление
перпендикулярно
плоскости, в которой лежат векторы
и
.
Направление вектора магнитной индукции
может быть найдено по правилу
правого винта:
направление вращения головки винта
дает направление
,
если поступательное движение буравчика
соответствует направлению тока в
элементе. Модуль вектора
определяется
выражением (в системе СИ)
где
—
угол между вектором
(радиус-вектором,
проведенным от элемента проводника
к
точке, в которой ищется (наблюдается)
поле) и элементом
проводника.
Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)
Рассмотрим поле, создаваемое током I, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (рис. 1.7).
Определим
магнитную индукцию на оси проводника
с током на расстоянии х
от плоскости кругового тока. Векторы
перпендикулярны
плоскостям, проходящим через соответствующие
и
.
Следовательно, они образуют симметричный
конический веер. Из соображения симметрии
видно, что результирующий вектор
направлен
вдоль оси кругового тока. Каждый из
векторов
вносит
вклад равный
,
а
взаимно
уничтожаются. Но
,
,
а т.к. угол между
и
α
– прямой, то
тогда
получим
|
|
(1.6.1) |
|
,
Подставив
в (1.6.1)
и,
проинтегрировав по всему контуру
,
получим выражение для нахождения
магнитной
индукции кругового
тока:
|
|
(1.6.2) |
|
,
При
,
получим магнитную
индукцию в центре кругового тока:
|
|
(1.6.3) |
|
,
Заметим,
что в числителе (1.6.2)
–
магнитный момент контура. Тогда, на
большом расстоянии от контура, при
,
магнитную индукцию можно рассчитать
по формуле:
|
|
(1.6.4) |
|
,
Силовые линии магнитного поля кругового тока хорошо видны в опыте с железными опилками (рис. 1.8).
