6.5. Сложение пар
Приведенная ниже теорема говорит о том, как складывать пары сил, т. е. как найти одну пару, эквивалентную системе пар.
ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР
Система
пар с моментами
эквивалентна одной паре, момент которой
равен векторной сумме моментов этих
пар:
(6.5)
Доказательство
Докажем, прежде всего, приведенную теорему для двух пар, поскольку дальше это доказательство легко распространяется на любое число пар.
Пусть
имеются две пары: пара (
,
)
и пара (
,
),
расположенные в плоскостях
и
(рис. 6.9), образующих произвольный угол
,
и имеющие моменты 
и 
соответственно.
Произведем следующие преобразования.
Сохраняя
значения моментов, изменим величины
сил и плечи следующим образом: пусть
модули всех четырех сил будут равны
,
и тогда плечи пар станут равны
и
.
Рис. 6.9.
Переместим эти пары в плоскостях так, чтобы силы и были направлены противоположно друг другу по линии пересечения плоскостей.
Тогда уравновешенную систему сил и можно исключить.
Система
двух пар действительно оказалась
эквивалентной одной паре из сил
и
с плечом
.
Осталось
показать, что момент этой пары равен
векторной сумме моментов исходных пар,
модули которых
и
,
а их векторы направлены перпендикулярно
плоскостям
и
.
Вычислим
момент пары 
:
То есть, для двух пар сложение моментов выполняется по правилу параллелограмма.
Теорема доказана.
Таким образом, моменты двух пар складываются аналогично тому, как складываются силы: по правилу параллелограмма или треугольника моментов.
Для нескольких пар сложение выполняется по правилу многоугольника моментов, которое аналогично правилу силового многоугольника.
Рис. 6.10
Сумма моментов будет замыкающей стороной этого многоугольника (рис. 6.10). Пара, заменяющая собой систему пар называется обычно результирующей парой.
6.6. Условие уравновешенности системы пар
Пара сил, как известно, не является уравновешенной системой сил. Поэтому для уравновешенности системы пар требуется, чтобы результирующей пары она не имела. Отсюда следуют условия уравновешенности системы пар.
Для того чтобы система пар была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий.
1. В векторной форме:
векторная сумма моментов всех пар должна быть равна нулю:
(6.6)
В геометрической форме:
многоугольник моментов пар должен быть замкнут.
В аналитической форме:
сумма проекций моментов пар на каждую из координатных осей должна быть равна нулю:
(6.7)
6.7. Моменты пар, расположенных в одной плоскости
Если пары расположены в одной плоскости (рис.6.11), то их вектор-моменты направлены перпендикулярно к этой плоскости.
Знаки
моментов, определяемые по правилу
правого винта, совпадают со знаками
проекций вектор-моментов пар на ось
.
В этом случае моменты пар отличаются только модулем и знаком, и могут тоже рассматриваться как скалярные величины.
Рис. 6.11
Для плоской системы сил введем понятие алгебраического момента пары.
Алгебраическим моментом пары называется взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары:
.
Алгебраический момент пары не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия и может быть равен нулю, только если линии действия сил пары совпадают.
При решении плоских задач пара изображается скобкой, стрелка которой указывает направление вращения пары, поскольку направление сил пары, ее плечо и место расположения не существенны, − они могут меняться произвольно, если при этом не меняется момент пары.
Сложение пар сил, лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях, является частным случаем сложения пар: в этом случае векторное сложение можно заменить алгебраическим сложением.
.
Рис.6.12
Если пары лежат в одной плоскости, то путем суммирования их можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой назовем результирующим алгебраическим моментом системы пар.
Результирующий алгебраический момент системы пар, расположенных в одной плоскости, равен сумме алгебраических моментов составляющих пар:
.
Система пар находится в равновесии только в том случае, когда результирующий момент равен нулю.
Таким образом,
для равновесия пар сил, действующих на твердое тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов этих пар была равна нулю:
